Question

（本題滿分18分）已知：函數 ，在區(qū)間上有最大值4，最小值1，設函數．
（1）求、的值及函數的解析式；
（2）若不等式在時恒成立，求實數的取值范圍；
（3）如果關于的方程有三個相異的實數根，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2） ；（3）時滿足題設．解析:
（1）由題意得：函數 的對稱軸為，要討論得函數在上的單調性，又函數在區(qū)間上有最大值4，最小值1，求出、的值；
（2）不等式在時恒成立，即恒成立，換元求出右邊的最小值即可；
（3）關于的方程有三個相異的實數根，令，則  有兩個實根，一個根大于0且小于1，另一個根大于1.根據二次函數與二次方程的關系列出滿足的條件求解。
解：（1），由題意得：
 得， 或  得（舍去）
，…………4分
，…………5分
（2）不等式，即，……9分
設，，，…………11分
（3），即．
令，則   …………13分
記方程的根為、，當時，原方程有三個相異實根，
記，由題可知，
或．…………16分
       時滿足題設．…………18分