Question

【題目】如圖，在中，，，，為的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與、、重合），過(guò)點(diǎn)作的垂線交折線于點(diǎn)．以、為鄰邊構(gòu)造矩形．設(shè)矩形與重疊部分圖形的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

（1）直接寫(xiě)出的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)點(diǎn)落在的邊上時(shí)，求的值；

（3）當(dāng)矩形與重疊部分圖形不是矩形時(shí)，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出的取值范圍；

（4）沿直線將矩形剪開(kāi)，得到兩個(gè)圖形，用這兩個(gè)圖形拼成不重疊且無(wú)縫隙的圖形恰好是三角形．請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）；（4）或．

【解析】

（1）根據(jù)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度和BD的長(zhǎng)度即可出結(jié)果；

（2）畫(huà)出圖象，根據(jù)三角形的相似求出各個(gè)線段長(zhǎng)，即可解決；

（3）分情況討論，矩形與重疊部分面積即為矩形面積減去△ABC外部的小三角形面積，通過(guò)三角函數(shù)計(jì)算出各邊長(zhǎng)求面積即可；

（4）要想使被直線分割成的兩部分能拼成不重疊且無(wú)縫隙的圖形恰好是三角形，則需要被分割的是兩個(gè)至少有一條相等邊長(zhǎng)的直角三角形，或者直線正好過(guò)正方形一條邊的中點(diǎn)，分情況畫(huà)圖求解即可．

解：（1）∵，為的中點(diǎn)，

∴，

P從B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D所需時(shí)間為1s，

由題意可知，

；

（2）如圖所示，

由題意得，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

由四邊形是矩形可知，∠QPD=∠MDP=90°，PQ=DM，即∠APQ=∠BDM=90°，

∵∠B=∠B，∠BDM=∠ACB=90°，

∴△MDB∽△ACB，

∴ ，即，

∴，即

∵∠A=∠A，∠APQ=∠ACB=90°，

∴△APQ∽△ACB，

∴ ，即，

解得 ；

（3）當(dāng) 時(shí)，如圖，DM交BC于點(diǎn)F，

由矩形可知PD∥QM，∴∠FQM=∠B=30°，

此時(shí)，

∴，

∴,

解得，

，

同理，，解得，

，

，

當(dāng) 時(shí)，如圖，DM交BC于點(diǎn)F，QM交BC于E，

，由題意可知∠A=60°，

，

∴，即，

，得，

∴，

∵，

∴，

，

，

∴，

綜上所述： ；

（4）如圖所示，當(dāng)Q與C重合時(shí)，滿足條件，

由前面解題過(guò)程可知此時(shí)，

當(dāng)PQ=DM時(shí)，此時(shí)直線CD正好過(guò)QM的中點(diǎn)，滿足條件，

此時(shí)，

當(dāng)直線CD正好過(guò)PQ的中點(diǎn)G時(shí)，滿足條件，如圖，

由前面計(jì)算可知，則，

，

解得，

綜上所述，或．