Question

已知：△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO，連接AD、BC，點M、N、P分別為OA、OD、BC的中點。
（1）如圖（1），若A、O、C三點在同一直線上，且∠ABO=60°，則△PMN的形狀是_____，此時=_____；
（2）如圖（2），若A、O、C三點在同一直線上，且∠ABO=2α，證明△PMN∽△BAO，并計算的值（用含α的式子表示）；
（3）在圖（2）中，固定△AOB，將△COD繞點O旋轉，直接寫出PM的最大值。

Answer 1

解：（1）等邊三角形；1； （2）連接BM、CN， 由題意，得BM⊥OA，CN⊥OD，∠AOB=∠COD=90°-α， ∵A、O、C三點在同一直線上， ∴B、O、D三點在同一直線上， ∴∠BMC=∠CNB =90°， ∵為BC中點， ∴在Rt△BMC中，PM=BC， 在Rt△BNC中，PN=BC， ∴PM=PN， ∴B、C、N、M四點都在以P為圓心，BC為半徑， ∴∠MPN=2∠MBN， 又∵∠MBN=∠ABO=α， ∴∠MPN=∠ABO， ∴△PMN∽△BAO， ∴MN/PM=AO/BA， 由題意：MN=AD， 又PM=BC， ∴AD/BC= MN/PM， ∴AD/BC=AO/BA， 在Rt △BMA中， AM/AB=sinα， ∵AO=2AM， ∴=2sinα， ∴=2sinα； （3）。