Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，1）和（1，0），P是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），坐標(biāo)為（m，1-m）（m為常數(shù)）．
（1）求經(jīng)過O、P、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）當(dāng)P點(diǎn)在線段AB上移動(dòng)時(shí)，過O、P、B三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸是否會(huì)隨著P的移動(dòng)而改變；
（3）當(dāng)P移動(dòng)到點(diǎn)（

1

2

，

1

2

）時(shí)，請(qǐng)你在過O、P、B三點(diǎn)的拋物線上至少找出兩點(diǎn)，使每個(gè)點(diǎn)都能與P、B兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，并求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出拋物線的解析式，根據(jù)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，B點(diǎn)，P點(diǎn)可列出方程求出a，b的值確定解析式；
（2）求出拋物線的對(duì)稱軸，可知是個(gè)定值，故不變；
（3）可作出對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為K，過K點(diǎn)作PB的垂直平分線，交拋物線于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)就符合要求．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
因?yàn)閽佄锞�過原點(diǎn)O（0，0）．所以c=0．

a×12+b×1=0 a×m2+b×m=1-m

，

a=- 1 m b= 1 m

．
所以y=-

1

m

x²+

1

m

x；

（2）由（1）可知拋物線的對(duì)稱軸是x=-

1 m

2×(- 1 m )

=

1

2

．
所以它不會(huì)隨P的移動(dòng)而改變；

（3）點(diǎn)O（0，0）可滿足．
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于K，過K作PB的垂直平分線交拋物線于Q₁，Q₂兩點(diǎn)，則△Q₁PB，△Q₂PB是等腰三角形．
∵直線PB的解析式為：y=-x+1，
∴Q₁Q₂的解析式是：y=x-

1

2

，拋物線的解析式為：y=-2x²+2x．
所以直線和拋物線的交點(diǎn)Q₁，Q₂兩點(diǎn)的坐標(biāo)是（

5 +1

4

，

5 -1

4

），（

1- 5

4

，-

5 +1

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，其中考查了通過坐標(biāo)來確定二次函數(shù)式，求拋物線的對(duì)稱軸，以及根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出坐標(biāo)．