Question

9．如圖（1），已知等腰直角△ABC中，BD為斜邊上的中線，E為DC上的一點(diǎn)，且AG⊥BE于G，AG交BD于F．
（1）求證：AF=BE
（2）如圖（2）若點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，且AG⊥BE于G，AG與DB的延長(zhǎng)線于F，問(wèn)AF與BE能相等嗎？若相等，請(qǐng)證明；若不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）首先證明AD=BD，再證明∠DAF=∠DBE，可利用ASA定理判定△AFD≌△BED，進(jìn)而得到AF=BE；
（2）方法與（1）類(lèi)似，證明△AFD≌△BED（AAS）可得AF=BE．

解答 證明：（1）∵△ABC是等腰三角形，BD為斜邊上的中線，
∴BD=AD=$\frac{1}{2}$AC，∠ADB=90°，
∴∠1+∠GAD=90°，
∵AG⊥BE于G，
∴∠2+∠DBE=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠DAF=∠DBE，
在△AFD和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠BDE}\\{AD=BD}\\{∠DAG=∠DBE}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△BED（ASA），
∴AF=BE；
（2）AF與BE相等；
∵△ABC是等腰三角形，BD為斜邊上的中線，
∴BD=AD=$\frac{1}{2}$AC，∠ADB=90°，
∴∠DBE+∠DEB=90°，
∵AG⊥BE于G，
∴∠GBF+∠F=90°，
∵∠DBE=∠GBF，
∴∠F=∠DEB，
在△AFD和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEB=∠F}\\{∠BDF=∠ADF=90°}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△BED（AAS），
∴AF=BE；

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．