Question

在平面直角坐標系xoy中，點M在x軸的正半軸上，⊙M交x軸于A、B兩點，交y軸C、D于兩點，且C為弧AE的中點，AE交y軸于點G點，若點C的坐標為（0，2

3

）．

（1）連接MG、BC，求證：MG∥BC；
（2）若CE∥AB，直線y=kx-1（k≠0）將四邊形ACEB面積二等分，求k的值；
（3）如圖2，過O、P（2，2）作⊙O₁交x軸正半軸于G，交y軸負半軸于H，I為△GOH的內(nèi)心，過I作IN⊥GH于N，當⊙O₁的大小變化時，試說明GN-NH的值不變并求其值．

Answer 1

考點：圓的綜合題,全等三角形的判定與性質,線段垂直平分線的性質,勾股定理,三角形中位線定理,正方形的判定與性質,垂徑定理,圓心角、弧、弦的關系,圓周角定理

專題：綜合題

分析：（1）連接AC，設AE與BC的交點為F，如圖1①，由題可知AM=BM，要證MG∥BC，只需證AG=FG，由于∠ACF=90°，只需證AG=CG即可．
（2）連接AC、CE、BE，設AE與BC的交點為F，直線y=kx-1與CE交于P，與AB交于Q，如圖1②．由條件CE∥AB可求出∠ACO的度數(shù)，進而可求出CE、AB的長．用k的代數(shù)式表示出CP、AQ的長度，然后根據(jù)條件列出關于k的方程，就可求出k的值．
（3）過點I作IA⊥OH于A，作IB⊥OG于B，過點P作PC⊥y軸于C，作PD⊥x軸于D，連接IO、IH、IG、PH、PG，如圖2，根據(jù)角平分線的性質可得IA=IB=IN，運用勾股定理可得AH=NH，GN=GB，OA=OB，從而可得GN-NH=OG-OH．易證矩形OCPD是正方形，從而有∠CPD=90°，PC=PD．進而可證到△PCH≌△PDG，則有CH=DG，即CO+OH=OG-OD，從而有OG-OH=4，進而可得GN-NH=OG-OH=4，問題得以解決．

解答：解：（1）連接AC，設AE與BC的交點為F，如圖1①，
∵AB是⊙M的直徑，AB⊥CD，
∴∠ACB=90°，

AD

=

AC

．
∵

AC

=

EC

，
∴

AD

=

EC

．
∴∠ACD=∠CAE．
∴GA=GC，∠GCF=90°-∠ACD=90°-∠CAE=∠CFG．
∴GC=GF．
∴AG=GF．
∵AM=BM，
∴MG∥BC．

（2）連接AC、CE、BE，設AE與BC的交點為F，直線y=kx-1與CE交于P，與AB交于Q，如圖1②．
∵CE∥AB，∴∠CEA=∠BAE．
∵

CE

=

AC

，∴∠CAE=∠CEA．
∴∠ACO=∠CAE=∠GAO．
∵∠AOC=90°，
∴3∠ACO=90°．
∴∠ACO=30°．
∵點C的坐標為（0，2

3

），
∴OC=2

3

．
∴A0=OC•tan∠ACO=2

3

×

3

3

=2．
∴點A的坐標為（-2，0），AC=2AO=4．
∵

AC

=

EC

，
∴EC=AC=4，∠ABC=∠CAE=30°．
∴AB=2AC=8．
∵y_Q=0，
∴kx_Q-1=0，即x_Q=

1

k

．
∴AQ=

1

k

-（-2）=

1

k

+2．
∵點C的坐標為（0，2

3

），CE∥AB，
∴y_P=2

3

．
∴kx_P-1=2

3

，即x_P=

2 3 +1

k

．
∴CP=

2 3 +1

k

．
∵S_梯形ACPQ=

1

2

S_梯形ABEC，
∴

1

2

（CP+AQ）•OC=

1

2

×

1

2

（CE+AB）•OC．
∴2（CP+AQ）=CE+AB．
∴2（

2 3 +1

k

+

1

k

+2）=4+8=12．
解得：k=

3 +1

2

．
經(jīng)檢驗k=

3 +1

2

是原方程的解．
∴k的值為

3 +1

2

．

（3）過點I作IA⊥OH于A，作IB⊥OG于B，過點P作PC⊥y軸于C，作
PD⊥x軸于D，連接IO、IH、IG、PH、PG，如圖2．
∵點I是△GOH的內(nèi)心，
∴點I是△GOH的內(nèi)角平分線的交點．
∵IA⊥OH，IB⊥OG，IN⊥GH，
∴IA=IB=IN．
∴AH=

IH2-IA2

=

IH2-IN2

=NH．
同理GN=GB，OA=OB．
∴GN-NH=GB-AH=（OG-OB）-（OH-OA）=OG-OH．
∵P點坐標為（2，2），
∴OD=OC=2．
∵PC⊥OC，PD⊥OD，OC⊥OD，
∴∠PCO=∠COD=∠PDO=90°．
∴四邊形OCPD是矩形．
∵OD=OC，
∴矩形OCPD是正方形．
∴∠CPD=90°，PC=PD．
∵GH是⊙O₁直徑，
∴∠GPH=90°．
∴∠CPD=∠GPH．
∴∠CPH=∠DPG．
在△PCH和△PDG中，

∠PCH=∠PDG PC=PD ∠CPH=∠DPG

．
∴△PCH≌△PDG（ASA）．
∴CH=DG．
∴CO+OH=OG-OD．
∴2+OH=OG-2．
∴OG-OH=4．
∴GN-NH=OG-OH=4．
∴GN-NH的值不變，其值為4．

點評：本題考查了垂徑定理、圓周角定理、弧與弦的關系、三角形的內(nèi)心、三角形的中位線定理、垂直平分線的性質、正方形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理、梯形的面積公式等知識，綜合性非常強，將GN-NH轉化為OG-OH并證到CH=DG是解決第（3）題的關鍵．