Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-2x的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于點(diǎn)A（-1，n）．
（1）求反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的解析式；
（2）若P是x軸上一點(diǎn)，且△AOP是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）結(jié)合圖象直接寫(xiě)出不等式$\frac{k}{x}$+2x＞0的解集為-1＜x＜O或x＞1．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決．
（2）分三種情形討論①A為頂點(diǎn)，②O為頂點(diǎn)，③P為頂點(diǎn)，分別求解即可．
（3）先求出兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)圖象，反比例函數(shù)圖象在上面即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（-1，n）在一次函數(shù)y=-2x上，
∴n=2，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)（-1，2）
把點(diǎn)A（-1，2）代入y=$\frac{k}{x}$得k=-2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{2}{x}$．
（2）①當(dāng)A為等腰三角形頂點(diǎn)時(shí)，AO=AP，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（-2，0）．
②當(dāng)點(diǎn)O為等腰三角形頂點(diǎn)時(shí)，OA=0P=$\sqrt{5}$，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（-$\sqrt{5}$，0）或（$\sqrt{5}$，0）
③當(dāng)點(diǎn)P為等腰三角形頂點(diǎn)時(shí)，OA的垂直平分線為：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{4}$，y=0時(shí)，x=-$\frac{5}{2}$，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)（-$\frac{5}{2}$，0）．
（3）不等式$\frac{k}{x}$+2x＞0，即$\frac{k}{x}$＞-2x，
∵一次函數(shù)y=-2x的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于點(diǎn)A（-1，2），B（1.2）
∴由圖象可知-1＜x＜0或x＞1．
故答案為-1＜x＜0或x＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，靈活應(yīng)用待定系數(shù)法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)分類(lèi)討論的思想，不能漏解，屬于中考�？碱}型．