Question

已知在平面直角坐標系xOy中，點A（m，n）在第一象限內，AB⊥OA且AB=OA，反比例函數y=的圖象經過點A．
（1）當點B的坐標為（6，0）時（如圖1），求這個反比例函數的解析式；
（2）當點B也在反比例函數y=的圖象上，且在點A的右側時（如圖2），用m、n的代數式表示點B的坐標；
（3）在第（2）小題的條件下，求的值．

Answer 1

解：（1）過A作AC⊥OB，交x軸于點C，
∵OA=AB，∠OAB=90°，
∴△AOB為等腰直角三角形，
∴AC=OC=BC=OB=3，
∴A（3，3），
將x=3，y=3代入反比例解析式得：3=，即k=9，
則反比例解析式為y=；

（2）過A作AE⊥x軸，過B作BD⊥AE，
∵∠OAB=90°，
∴∠OAE+∠BAD=90°，
∵∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠BAD=∠AOE，
在△AOE和△BAD中，
，
∴△AOE≌△BAD（AAS），
∴AE=BD=n，OE=AD=m，
∴DE=AE-AD=n-m，OE+BD=m+n，
則B（m+n，n-m）；

（3）由A與B都在反比例圖象上，得到mn=（m+n）（n-m），
整理得：n²-m²=mn，即（）²+-1=0，
這里a=1，b=1，c=-1，
∵△=1+4=5，
∴=，
∵A（m，n）在第一象限，
∴m＞0，n＞0，
則=．
分析：（1）過A作AC⊥OB，根據三角形AOB為等腰直角三角形，得到AC=OC=BC=OB，確定出A坐標，代入反比例解析式求出k的值，即可確定出反比例解析式；
（2）過A作AE⊥x軸，過B作BD⊥AE，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且AO=AB，利用AAS得出三角形AOE與三角形ABD全等，由確定三角形的對應邊相等得到BD=AE=n，AD=OE=m，進而表示出ED及OE+BD的長，即可表示出B坐標；
（3）由A與B都在反比例圖象上，得到A與B橫縱坐標乘積相等，列出關系式，變形后即可求出的值．
點評：此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質，坐標與圖形性質，等腰直角三角形的性質，以及一元二次方程的解法，熟練掌握反比例函數的性質是解本題的關鍵．