Question

10．如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，⊙O的半徑為1．
（1）求$\widehat{AB}$的長；
（2）求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OE、OA、OF、OB，求出中心角則∠AOF=∠EOF=∠AOB=60°，得出∠BOE=180°，由弧長公式即可得出結果；
（2）連接OD，證明△DOE，△EOF是等邊三角形，求出△△EOF的面積=△DOE的面積=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，由扇形面積公式求出扇形DOF的面積的面積，即可求出陰影部分的面積．

解答 解：（1）連接OE、OA、OF、OB，如圖1所示：
則∠AOF=∠EOF=∠AOB=60°，
∴∠BOE=180°，
∴$\widehat{AB}$的長=$\frac{180π×1}{180}$=π；
（2）連接OD，如圖2所示：
則∠DOE=∠EOF=60°，
∵OD=OE=OF，
∴△DOE，△EOF是等邊三角形，
∴△△EOF的面積=△DOE的面積=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵扇形DOF的面積=$\frac{120π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{1}{3}$π，
∴陰影部分的面積=$\frac{1}{3}$π-2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了正多邊形的性質、等邊三角形的判定與性質、弧長公式、扇形面積公式；熟練掌握正六邊形的性質，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關鍵．