Question

已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．

（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連結(jié)AP、OP、OA．
①求證：△OCP∽△PDA；
②若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長(zhǎng)；
（2）若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)，求∠OAB的度數(shù)；
（3）如圖2，

在

•

(1)

•

的

•

條

•

件

•

下

•

，擦去折痕AO、線段OP，連結(jié)BP．動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E．試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，求出線段EF的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,矩形的性質(zhì),特殊角的三角函數(shù)值

專題：綜合題,壓軸題,動(dòng)點(diǎn)型,探究型

分析：（1）只需證明兩對(duì)對(duì)應(yīng)角分別相等即可證到兩個(gè)三角形相似，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PC長(zhǎng)以及AP與OP的關(guān)系，然后在Rt△PCO中運(yùn)用勾股定理求出OP長(zhǎng)，從而求出AB長(zhǎng)．
（2）由DP=

1

2

DC=

1

2

AB=

1

2

AP及∠D=90°，利用三角函數(shù)即可求出∠DAP的度數(shù)，進(jìn)而求出∠OAB的度數(shù)．
（3）由邊相等常常聯(lián)想到全等，但BN與PM所在的三角形并不全等，且這兩條線段的位置很不協(xié)調(diào)，可通過(guò)作平行線構(gòu)造全等，然后運(yùn)用三角形全等及等腰三角形的性質(zhì)即可推出EF是PB的一半，只需求出PB長(zhǎng)就可以求出EF長(zhǎng)．

解答：解：（1）如圖1，
①∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．
由折疊可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B．
∴∠APO=90°．
∴∠APD=90°-∠CPO=∠POC．
∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．
∴△OCP∽△PDA．
②∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，
∴

OC

PD

=

OP

PA

=

CP

DA

=

1 4

=

1

2

．
∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．
∵AD=8，∴CP=4，BC=8．
設(shè)OP=x，則OB=x，CO=8-x．
在Rt△PCO中，
∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8-x，
∴x²=（8-x）²+4²．
解得：x=5．
∴AB=AP=2OP=10．
∴邊AB的長(zhǎng)為10．

（2）如圖1，
∵P是CD邊的中點(diǎn)，
∴DP=

1

2

DC．
∵DC=AB，AB=AP，
∴DP=

1

2

AP．
∵∠D=90°，
∴sin∠DAP=

DP

AP

=

1

2

．
∴∠DAP=30°．
∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°，
∴∠OAB=30°．
∴∠OAB的度數(shù)為30°．

（3）作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，如圖2．
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．
∴∠APB=∠MQP．
∴MP=MQ．
∵M(jìn)P=MQ，ME⊥PQ，
∴PE=EQ=

1

2

PQ．
∵BN=PM，MP=MQ，
∴BN=QM．
∵M(jìn)Q∥AN，
∴∠QMF=∠BNF．
在△MFQ和△NFB中，

∠QMF=∠BNF ∠QFM=∠BFN QM=BN

．
∴△MFQ≌△NFB．
∴QF=BF．
∴QF=

1

2

QB．
∴EF=EQ+QF=

1

2

PQ+

1

2

QB=

1

2

PB．
由（1）中的結(jié)論可得：
PC=4，BC=8，∠C=90°．
∴PB=

82+42

=4

5

．
∴EF=

1

2

PB=2

5

．
∴在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度不變，長(zhǎng)度為2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道運(yùn)動(dòng)變化類的題目，考查了相似三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，而添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解決最后一個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵．