Question

如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點(diǎn)O，點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)，連結(jié)CD、AD、OD，給出以下四個(gè)結(jié)論：
①∠DOB=∠ADC；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④2CD²=CE•AB．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是（　　）

• A、①③
• B、②④
• C、①④
• D、①②③

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，利用等量代換求證∠CAD=∠ADO即可得到AC∥OD，所以∠DOB=∠CAO，又因?yàn)椤螩AO=∠ADC（都對著半圓�。�，所以∠DOB=∠ADC；
②由①得OE：EC=OD：AC，再由OD≠AC，可得CE≠OE；
③兩三角形中，只有一個(gè)公共角的度數(shù)相等，其它兩角不相等，所以不能證明③△ODE∽△ADO；
④根據(jù)同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，求出∠COD=45°，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠CDE=45°，再求證△CED∽△COD，利用其對應(yīng)變成比例即可得出結(jié)論．

解答：解：①：①∵AB是半圓直徑，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，
∴∠CAD=∠DAO=

1

2

∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴∠DOB=∠CAO，
又∵∠CAO=∠ADC（都對著半圓弧），
∴∠DOB=∠ADC故①正確；
②由題意得，OD=R，AC=

2

R，
∵OE：CE=OD：AC=1：

2

，
∴OE≠CE，故②錯(cuò)誤；
③∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO=∠EDO，
∵∠COD=2∠CAD=2∠OAD，
∴∠DEO≠∠DAO，
∴不能證明△ODE和△ADO相似，
∴③錯(cuò)誤；
④∵AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，
∴∠CAD=

1

2

×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AB是半圓直徑，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°
∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已證），
∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°，
∴△CED∽△COD，
∴

CD

OD

=

CE

CD

=，
∴CD²=OD•CE=

1

2

AB•CE，
∴2CD²=CE•AB．
∴④正確．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用，此題步驟繁瑣，但相對而言，難易程度適中，很適合學(xué)生的訓(xùn)練是一道典型的題目．