Question

（2012•瀘州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，C是弧AD的中點(diǎn)，弦CE⊥AB于點(diǎn)H，連接AD，分別交CE、BC于點(diǎn)P、Q，連接BD．
（1）求證：P是線段AQ的中點(diǎn)；
（2）若⊙O的半徑為5，AQ=

15

2

，求弦CE的長．

Answer 1

分析：（1）首先利用等角對(duì)等邊證明：∠ACP=∠CAP得到：PA=PC，然再證明PC=PQ，即可得到P是AQ的中點(diǎn)；
（2）首先證明：△CAQ∽△CBA，依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等求得AC、BC的長度，然后根據(jù)直角三角形的面積公式即可求得CH的長，則可以求得CE的長．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，弦CE⊥AB，
∴

AC

=

AE

．
又∵C是

AD

的中點(diǎn)，
∴

AC

=

CD

，
∴

AE

=

CD

．
∴∠ACP=∠CAP．
∴PA=PC，
∵AB是直徑．
∴∠ACB=90°．
∴∠PCQ=90°-∠ACP，∠CQP=90°-∠CAP，
∴∠PCQ=∠CQP．
∴PC=PQ．
∴PA=PQ，即P是AQ的中點(diǎn)；

（2）解：∵

AC

=

CD

，
∴∠CAQ=∠ABC．
又∵∠ACQ=∠BCA，
∴△CAQ∽△CBA．
∴

AC

BC

=

AQ

AB

=

15 2

10

=

3

4

．
又∵AB=10，
∴AC=6，BC=8．
根據(jù)直角三角形的面積公式，得：AC•BC=AB•CH，
∴6×8=10CH．
∴CH=

24

5

．
又∵CH=HE，
∴CE=2CH=

48

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積公式，正確理解定理是關(guān)鍵．