Question

如圖：已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，CD切⊙O于點(diǎn)C，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∠ACD=120°，BD=10．
（1）求證：AC=CD；     
（2）求⊙O的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）連結(jié)OC，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥CD，則∠OCD=90°，所以∠ACO=∠ACD-∠OCD=30°，則∠A=∠ACO=30°，接著利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出∠D=30°，然后根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到AC=CD；
（2）在Rt△OCD中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OD=2OC，則OB+10=2OB，解得OB=10，然后根據(jù)圓的面積公式求解．

解答：（1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵CD切⊙O于點(diǎn)C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠ACD=120°，
∴∠ACO=∠ACD-∠OCD=30°，
而OC=OA，
∴∠A=∠ACO=30°，
∵∠D=180°-∠ACD-∠A=30°，
∴∠A=∠D，
∴AC=CD；
（2）解：在Rt△OCD中，∵∠D=30°，
∴OD=2OC，
而OC=OB，
∴OB+10=2OB，解得OB=10，
∴⊙O的面積=π•10²=100π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．