Question

觀察下面的變形規(guī)律：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…
解答下面的問(wèn)題：
（1）若n為正整數(shù)，請(qǐng)你猜想

1

n(n+1)

=

 

；
（2）證明你猜想的結(jié)論；
（3）計(jì)算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2014×2015

+

1

2015×2016

．

Answer 1

考點(diǎn)：有理數(shù)的混合運(yùn)算

專(zhuān)題：規(guī)律型

分析：（1）觀察已知等式，寫(xiě)出猜想即可；
（2）原式通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，即可得證；
（3）原式利用拆項(xiàng)法變形后，抵消合并即可得到結(jié)果．

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）已知等式右邊=

n+1-n

n(n+1)

=

1

n(n+1)

=左邊，得證；
（3）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2015

-

1

2016

=1-

1

2016

=

2015

2016

．
故答案為：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．