Question

如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AE⊥BC于E，交BD于F，
（1）求證：2AD²=DF•DB；
（2）若BF、FD（BF＜DF）是關(guān)于x的方程x²-3mx+2m²=0的兩根，且AB=4，求菱形的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AD∥BC，OB=OD，AC⊥BD，再由AE⊥BC可得出△ADO∽△FAD，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得出=，再由OD=BD即可得出結(jié)論；
（2）先用m表示出一元二次方程x²-3mx+2m²=0的兩根，故可得出BF及DF的值，再由相似三角形的判定定理可得出△ADF∽△EBF，故可得出==，故可得出E是BC的中點(diǎn)，在Rt△ABE中利用勾股定理可求出AE的長(zhǎng)，由菱形的面積公式即可得出結(jié)論．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，OB=OD，AC⊥BD，
∵AE⊥BC，
∴∠EAD=∠AOD=90°，
∵∠ADO=∠ADO，
∴△ADO∽△FAD，
∴=，
∴AD²=DF•DO，
∵OD=BD，
∴2AD²=DF•BD；

（2）解：∵x²-3mx+2m²=0，
∴x₁=m，x₂=2m，即BF=m，DF=2m，
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠DBC，∠BEA=∠EAD，
∴△ADF∽△EBF，
∴==，
∴E是BC的中點(diǎn)，
在Rt△ABE中，
∵AE===2，
∴S_△ABC=BC•AE=4×2=8．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)及勾股定理等有關(guān)知識(shí)，涉及面較廣．