Question

如圖所示，拋物線y=-x²+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)C（4，0），與y軸交于點(diǎn)B．
（1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的解析式．
（2）連接直線BC，拋物線的對(duì)稱軸與BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)為拋物線的頂點(diǎn)，求四邊形ABCF的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）由于已知拋物線與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，則可利用交點(diǎn)式寫出拋物線解析式；
（2）先把拋物線解析式配成頂式得到對(duì)稱軸為直線x=

5

2

，頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（

5

2

，

9

4

），再確定B點(diǎn)坐標(biāo)，接著利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，于是可求出E點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用四邊形ABCF的面積=S_△ACE+S_△ACF進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：（1）拋物線的解析式為y=-（x-1）（x-4）=-x²+5x-4；
（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=-x²+5x-4=-4，則B（0，-4），
y=-x²+5x-4=-（x-

5

2

）²+

9

4

，則拋物線的對(duì)稱軸為直線x=

5

2

，頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（

5

2

，

9

4

），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（0，-4），（4，0）得

b=-4 4k+b=0

，解得

k=1 b=-4

，則直線BC的解析式為y=x-4，
當(dāng)x=

5

2

時(shí)，y=x-4=-

3

2

，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

2

，-

3

2

），
所以四邊形ABCF的面積=S_△ACE+S_△ACF
=

1

2

×（4-1）×

9

4

+

1

2

×（4-1）×

3

2

=

45

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．