Question

已知：如圖1：點A（5，0）B（0，2），AB=AC，∠BAC=90°．
（1）求點C的坐標(biāo)．
（2）以AB為斜邊作等腰直角△ABD，請直接寫出點D的坐標(biāo)______；
（3）如圖2，若E、F分別在BC、AB上，∠AEC=75°，F(xiàn)E⊥BC．求證：BF=AE．

Answer 1

解：（1）作CH⊥x軸，
∴∠ADC=90°．
∴∠DAC+∠ACD=90°
∵∠BOA=90°，
∴∠ADC=∠BOA．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠DAC=90°，
∴∠ACD=∠BAO．
在△CAD和ABO中
，
∴△CAD≌ABO（AAS），
∴AD=BO，CD=OA．
∵A（5，0）B（0，2），
∴OA=5，OB=2，
∴AD=2，CD=5，
∴OD=7．
∴C（7，5）；
（2）如圖2，當(dāng)點D在第一象限∠BDA=90°，BD=DA時，作DF⊥y軸于F，DM⊥x軸于M，
∴∠DFB=∠DMO=∠DMA=90°．
∵∠AOF=90°，
∴四邊形FOMD是矩形．
∴∠FDM=90°．
∵∠BDA=90°，
∴∠FDM=∠BDA，
∴∠FDM-∠BDM=∠BDA-∠BDM，
∴∠FDB=∠MDA．
在△BFD和△AMD中
，
∴△BFD≌△AMD（AAS）．
∴BF=MA，DF=DM．
∴四邊形OMDF是正方形，
∴OF=DM．
∴2+BF=5-MA，
∴2+BF=5-BF，
∴BF=1.5，
∴OF=OM=3.5．
∴D（3.5，3.5）；
如圖2，當(dāng)點D在第四象限∠BDA=90°，BD=DA時，作DF⊥y軸于F，DM⊥x軸于M，
∴∠DFB=∠DMO=∠DMA=90°．
∵∠AOF=90°，
∴四邊形FOMD是矩形．
∴∠FDM=90°．
∵∠BDA=90°，
∴∠FDM=∠BDA，
∴∠FDM-∠BDM=∠BDA-∠BDM，
∴∠FDB=∠MDA．
在△BFD和△AMD中
，
∴△BFD≌△AMD（AAS）．
∴BF=MA，DF=DM．
∴四邊形OMDF是正方形，
∴OF=OM．
∴2+OF=5-MO，
∴2+OF=5-OF，
∴OF=1.5，
∴OF=OM=1.5，
∴D（1.5，-1.5）
∴D（3.5，3.5）或D（1.5，-1.5）；
故答案為：（3.5，3.5），（1.5，-1.5）；

（3）作EM⊥AB，
∵FE⊥BC，
∴∠BEF=90°．
∵AB=AC，∠BAC=90°．
∴∠ABC=∠C=45°，
∴∠BFE=45°，
∴∠ABC=∠BFE，
∴BE=EF．
∵∠BEF=90，EM⊥AB，
∴BF=2EM．
∵∠AEC=75°，∠C=45°，
∴∠EAC=60°，
∴∠BAE=30°，
∴AE=2EM，
∴BF=AE．
分析：（1）作CH⊥x軸，由等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出△CAD≌ABO，就有AD=BO，CD=OA，就可以求出OD而求出C的坐標(biāo)；
（2）如圖2，當(dāng)點D在第一象限時，作DF⊥y軸于F，DM⊥x軸于M，證明△BFD≌△AMD就可以求出結(jié)論，如圖3，當(dāng)點D在第四象限時，作DF⊥y軸于F，DM⊥x軸于M，證明△BFD≌△AMD就可以求出結(jié)論．
（3）如圖4，作EM⊥AB于M由等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出BF=2EM，AE=2EM而得出結(jié)論．
點評：本題考查了坐標(biāo)與圖象的性質(zhì)的運用，矩形的判定及性質(zhì)的運用，正方形的判定及性質(zhì)的運用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時運用全等三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．