Question

△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，若a、b為關于x的方程  x²-（c+4）x+4c+8=0的二根．
（ 1）求證∠C=90°．
（2）若25asinA=9c，求a、b、c及△ABC的內切圓的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據一元二次方程根的判別式結合根與系數(shù)的關系，推出a，b，c的三邊關系，從而根據勾股定理的逆定理可證．
（2）由三角函數(shù)的定義，結合已知，分析三邊關系，再結合根與系數(shù)的關系可求得c，從而求出a，b，再根據三角形的面積公式求得內切圓的半徑，從而求解．
解答：解：（1）∵a+b=c+4，
∴a²+b²+2ab=c²+8c+16，
∵ab=4c+8，
∴2ab=8c+16，
∴a²+b²=c²，
∴∠C=90°；

（2）∵∠C=90°，
∴sinA=，
∵25asinA=9c，
∴25a²=9c²，
∴可設a=3k、c=5k，
∴b=4k，
∵a+b=c+4，
∴k=2
∴a=6、b=8、c=10
∴r==2，
∴s_⊙=πr²=4π．
點評：綜合考查了勾股定理的逆定理，三角形的內切圓與內心，三角形的面積和解直角三角形．此類題目在根據根與系數(shù)的關系解得答案時要代入原方程的判別式進行檢驗．一元二次方程的兩個根x₁、x₂具有這樣的關系：x₁+x₂=-，x₁•x₂=．