Question

1．如圖，正三角形ABC的邊長為3，正三角形DEF與其大小相同．
（1）若△ABC與△DEF所構(gòu)成的圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，則你覺得△DEF可由△ABC如何變化而來？
（2）P、Q、R分別是△ABC三邊AB、BC、AC上的點，且AP=BQ=CR=x．
①求S_△PQR與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出S_△PQR的最小值；
②設(shè)△PQR與△DEF重合部分的面積為S，用含x的代數(shù)式表示S．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△ABC與△DEF所構(gòu)成的圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，可得△DEF可由△ABC繞O點順時針旋轉(zhuǎn)60°得到；
（2）①由對稱性可得△APR≌△BQP≌△CRQ，進而得到S_△PRQ=S_△ABC-3S_△APR，根據(jù)${S_{△PRQ}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}{x^2}-\frac{{9\sqrt{3}}}{4}x+\frac{{9\sqrt{3}}}{4}=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}{（{x-\frac{3}{2}}）^2}+\frac{{9\sqrt{3}}}{16}（{0≤x≤3}）$，可得當$x=\frac{3}{2}$時，△PQR面積最小，最小值為$\frac{{9\sqrt{3}}}{16}$；
②分三種情況討論：當0≤x≤1時，當1≤x≤2時，當2≤x≤3時，分別根據(jù)△PQR與△DEF重合部分的面積為S，用含x的代數(shù)式表示S即可．

解答 解：（1）將△ABC繞O點順時針旋轉(zhuǎn)60°；

（2）①由對稱性可得△APR≌△BQP≌△CRQ，
∴S_△PRQ=S_△ABC-3S_△APR，
∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×3×3×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$，${S_{△APR}}=\frac{1}{2}x（{3-x}）×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=-\frac{{\sqrt{3}}}{4}{x^2}+\frac{{3\sqrt{3}}}{4}x$，
∴${S_{△PRQ}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}{x^2}-\frac{{9\sqrt{3}}}{4}x+\frac{{9\sqrt{3}}}{4}=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}{（{x-\frac{3}{2}}）^2}+\frac{{9\sqrt{3}}}{16}（{0≤x≤3}）$，
∴當$x=\frac{3}{2}$時，△PQR面積最小，最小值為$\frac{{9\sqrt{3}}}{16}$；

②Ⅰ．如上圖，當0≤x≤1時，由對稱性可得△DFM≌△ELK≌△FJI，
∴S=S_△DEF-3S_△DGM，
∵AP=BQ=CR=x，
∴PH=QS=RN=1-x，PB=3-x，
∵$\frac{HG}{BQ}=\frac{PH}{PB}$，
∴$HG=\frac{{x（{1-x}）}}{3-x}$，
∴$NJ=HG=\frac{{x（{1-x}）}}{3-x}$，
∴$DG=FJ=1+\frac{{x（{1-x}）}}{3-x}=\frac{{3-{x^2}}}{3-x}$，
∵$\frac{PH}{JF}=\frac{HI}{FI}$，且HF=2，
∴$FI=\frac{{3-{x^2}}}{3-2x}$，
∴$DM=FI=\frac{{3-{x^2}}}{3-2x}$，
∴${S_{△DGM}}=\frac{1}{2}×\frac{{3-{x^2}}}{3-x}×\frac{{3-{x^2}}}{3-2x}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}{{（{{x^2}-3}）}^2}}}{{4（{x-3}）（{2x-3}）}}$，
∵${S_{△DEF}}=\frac{1}{2}×3×3×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$，
∴$S=\frac{{9\sqrt{3}}}{4}-\frac{{3\sqrt{3}{{（{{x^2}-3}）}^2}}}{{4（{x-3}）（{2x-3}）}}（{0≤x≤1}）$；
Ⅱ．當1≤x≤2時，重合部分面積即為△PQR的面積，
∴$S=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}{x^2}-\frac{{9\sqrt{3}}}{4}x+\frac{{9\sqrt{3}}}{4}=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}{（{x-\frac{3}{2}}）^2}+\frac{{9\sqrt{3}}}{16}（{1≤x≤2}）$；
Ⅲ．當2≤x≤3時，如右圖，與0≤x≤1呈對稱形，僅需將x替換為3-x即可，
∴$S=\frac{{9\sqrt{3}}}{4}-\frac{{3\sqrt{3}{{[{{{（{3-x}）}^2}-3}]}^2}}}{{4（{3-x-3}）（{6-2x-3}）}}=\frac{{9\sqrt{3}}}{4}-\frac{{3\sqrt{3}{{（{{x^2}-6x+6}）}^2}}}{{4x（{2x-3}）}}（{2≤x≤3}）$．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了中心對稱圖形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形進行分類討論．確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標．