Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，拋物線的對稱軸與軸交于點.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）設點是直線上的一個動點，當的值最小時，求的長；

（3）在直線上是否存在點，使以，，為頂點的三角形與相似？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）存在，點的坐標為或或或，理由見解析

【解析】

（1）由題意先求得C（0，3）．設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將點C的坐標代入可求得a的值即可；

（2）由題意依據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)可知PA=PB，則PA+PC=PB+PC，則當點P在線段BC上時，PC+AP有最小值，PA+PC的最小值=BC，接下來，依據(jù)勾股定理求解即可；

（3）根據(jù)題意設點Q的坐標為（1，m），則QM=|m|，然后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到∠OQM=∠CAO或∠OQM=∠ACO，然后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例求解即可．

解：(1)把代入拋物線中，得

設拋物線的解析式為

將點的坐標代入，得

解得

拋物線的解析式為.

（2）如圖所示：

點與點關于直線對稱，點在直線上

兩點之間線段最短

當點在線段上時，有最小值，

的最小值即為

，

的最小值為.

（3）拋物線的對稱軸為直線

設點的坐標為，則

以，，為頂點的三角形與相似，

或

當時，

即，解得

點的坐標為或

當時，

即，解得

點的坐標為或

綜上所述，點的坐標為或或或.