Question

如圖，P為等腰△ABC的頂角A的外角平分線上任一點，連接PB,PC.

(1)求證:PB+PC＞2AB.

(2)當PC=2，PB=，∠ACP=45°時，求AB的長.

Answer 1

解：(1)如圖，在射線BA上取點B'使AB’=AB,連接PB’,

∵P為等腰△ABC的外角平分線上任一點，∴∠B’AP=∠CAP,AB=AC,AB’=AC，

∵PA=PA,∴△B’AP≌△CAP,∴PB’=PC.

在△B’BP中，∵PB+PB’＞BB’

∴PB+PC＞2AB.   ………………………………3分

(2)在△B’BP中，作PH⊥BB’于點H，

∵△B’AP≌△CAP,∴∠PB’A=∠PCA=45°,

∵PC=2，∴PB’=2.∴B’H=PH=.

在Rt△PHB中，∵PB=，

利用勾股定理解得BH=,

∴BB’=，

∴AB的長為 ………………………………5分