Question

16．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，AC=BD，M，P，N分別是邊AB，BC，CD的中點，Q是MN的中點．
（1）求證：PQ⊥MN；
（2）判定△OEF的形狀．

Answer 1

分析 （1）連接PM，PN，由三角形中位線定理可證明△PMN是等腰三角形，再由等腰三角形的性質(zhì)即可證明PQ⊥MN；
（2）△OEF的形狀是等腰三角形，由（1）中的條件可證明∠PMN=∠EFO，∠OEF=∠FNP，又因為∠PMN=∠PNM，所以∠EFO=∠OEF，所以△OEF是等腰三角形．

解答 （1）證明：
∵M，P分別是邊AB，BC的中點，
∴AM=BM，BP=CP，
∴PM=$\frac{1}{2}$AC
∵DN=CN，BP=CP，
∴PN=$\frac{1}{2}$BD．
又∵AC=BD，
∴PM=PN，
∴P在MN的中垂線上，
∵MQ=NQ，
∴PQ⊥MN；
（2）△OEF的形狀是等腰三角形，
理由如下：
∵PM∥AC，
∴∠PMN=∠EFO，
∵PN∥BD，
∴∠OEF=∠FNP，
又∵∠PMN=∠PNM，
∴∠EFO=∠OEF，
∴△OEF的形狀是等腰三角形．

點評 本題考查了三角形中位線定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，利用三角形中位線定理證明PM=PN．