Question

18．AB，CD是⊙O的兩條弦，直線AB，CD互相垂直，垂足為點E，連接AD，過點B作BF⊥AD，垂足為點F，直線BF交直線CD于點H．
（1）如圖1，當(dāng)點E在⊙O外時，連接BC，求證：BE平分∠HBC；
（2）如圖2，當(dāng)點E在⊙O內(nèi)時，連接AC，AG，求證：EC=EH；
（3）如圖3，在（2）條件下，若CH=DH，AH=$2\sqrt{17}$，tan∠D=$\frac{4}{3}$，求線段BF的長．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知∠D=∠EBC，然后依據(jù)同角的余角相等可證明∠D=∠HBE；
（2）先依據(jù)同角的余角相等可證明∠D=∠HBE，然后依據(jù)ASA可證明△BCE≌△BHE（ASA），由全等三角形的性質(zhì)可證明EC=EH；
（3）設(shè)AE=4k，可求得EH=k，然后在△AEH中由勾股定理可求得k=2，再依據(jù)相交弦定理可求得AB的長，然后在△ABF中，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求得BF的長．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠D=∠EBC．
∵HF⊥AD，AE⊥DH，
∴∠H+∠D=90°，∠H+∠HBE=90°．
∴∠HBE=∠D．
∴∠HBE=∠EBC，即BE平分∠HBC．
（2）證明：如圖1，連接CB．

∵AB⊥CD，BF⊥AD，
∴∠D+∠BAD=90°，∠ABH+∠BAD=90°，
∴∠D=∠ABH，
∵∠D=∠ABC，
∴∠ABC=∠ABH，
∵AB⊥CD，
∴∠CEB=∠HEB=90°，
在△BCE和△BHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠ABH}\\{BE=BE}\\{∠BEC=∠BEH}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BHE（ASA），
∴EC=EH，
（3）解：設(shè)AE=4k，則ED=3k．
∵由（2）可知△BEC≌△BHE．
∴EC=HE．
∵HC=HD，
∴DC=4k．
∴EH=k．
∵AE•EB=EC•ED，
∴4k•EB=k•3k．
∴EB=$\frac{3}{4}$k．
∴AB=4k+$\frac{3}{4}$k=$\frac{19k}{4}$．
在Rt△AEH中，AE=4k，EH=k，AH=2$\sqrt{17}$，
∴（4k）²+k²=4×17．
解得：k=2．
∴AB=$\frac{19}{2}$．
∴BF=AB×$\frac{3}{5}$=$\frac{19}{2}$×$\frac{3}{5}$=5.7．

點評 本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理和相交弦定理、銳角三角函數(shù)的定義，發(fā)現(xiàn)AE與HE的長度關(guān)系，依據(jù)勾股定理求得k=2是解題的關(guān)鍵．