Question

1．如圖1，在平面直角坐標系中有一Rt△AOB，O為坐標原點，OA=1，tan∠BAO=3，將此三角形繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DOC，拋物線l：y=-x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點．
（1）求拋物線l的解析式及頂點G的坐標．
（2）①求證：拋物線l經(jīng)過點C．
②分別連接CG，DG，求△GCD的面積．
（3）在第二象限內(nèi)，拋物線上存在異于點G的一點P，使△PCD與△CDG的面積相等，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）先求得點A和點B的坐標，然后將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式，可求得b、c的值，從而可得到拋物線的解析式，最后依據(jù)配方法可求得點G的坐標
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得點D和點C的坐標，將點C的橫坐標代入拋物線的解析式求得y=0，從而可證明點拋物線l經(jīng)過點C；如圖1所示；過點G作GE⊥y軸，分別求得梯形GEOC、△OCD、△GED的面積，最后依據(jù)S_△CDG=S_梯形GEOC-S_△OCD-S_△GED求解即可；
（3）如圖2所示：過點G作PG∥CD，交拋物線與點P．先求得直線CD的解析式，然后可得到直線PG的一次項系數(shù)，然后由點G的坐標可求得PG的解析式，最后將直線PG的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立，最后解得點P的坐標即可．

解答 解：（1）∵OA=1，
∴A（1，0）．
又∵tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=3，
∴OB=3．
∴B（0，3）．
將A（1，0）、B（0，3）代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{-{1}^{2}+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：b=-2，c=3．
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴拋物線的頂點G的坐標為（-1，4）．
（2）①證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知；OC=OB=3，
∴C（-3，0）．
當x=-3時，y=-（-3）²-2×（-3）+3=-9+6+3=0，
∴點拋物線l經(jīng)過點C．
②如圖1所示；過點G作GE⊥y軸．

∵GE⊥y軸，G（-1，4），
∴GE=1，OE=4．
∴S_梯形GEOC=$\frac{1}{2}$（GE+OC）•OE=$\frac{1}{2}$×（1+3）×4=8．
∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知；OD=OA=1，
∴DE=3．
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$OC•OD=$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{3}{2}$，S_△GED=$\frac{1}{2}$EG•ED=$\frac{1}{2}$×1×3=$\frac{3}{2}$．
∴S_△CDG=S_梯形GEOC-S_△OCD-S_△GED=8-$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$=5．
（3）如圖2所示：過點G作PG∥CD，交拋物線與點P．

∵PG∥CD，
∴△PCD的面積=△GCD的面積．
∵OD=OA=1，
∴D（0，1）．
設直線CD的解析式為y=kx+b．
∵將點C（-3，0）、D（0，1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{1}{3}$，b=1，
∴直線CD的解析式為y=$\frac{1}{3}x$+1．
∵PG∥CD，
∴直線PG的一次項系數(shù)為$\frac{1}{3}$．
設PG的解析式為y=$\frac{1}{3}$x+b₁．
∵將點G的坐標代入得：$-\frac{1}{3}$+b₁=4，解得：b₁=$\frac{13}{3}$，
∴直線PG的解析式為y=$\frac{1}{3}x$+$\frac{13}{3}$．
∵將y=$\frac{1}{3}x$+$\frac{13}{3}$與y=-x²-2x+3聯(lián)立．解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{4}{3}}\\{{y}_{1}=\frac{35}{9}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=4}\end{array}\right.$，
∴P（-$\frac{4}{3}$，$\frac{35}{9}$）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上點的坐標與解析式的關系、割補法求不規(guī)則圖形的面積、以及直線與拋物線的交點問題，求得直線PE的解析式是解題的關鍵．