Question

課題：探究能拼成正多邊形的三角形的面積計算公式．
實驗：
（1）如圖1，三角形的三邊長分別為a、b、c，∠A=60°，現(xiàn)將六個這樣的三角形（設面積為S₆）拼成一個六邊形，由于大六邊形三個角都是∠B+∠C=120°，所以由a邊圍成了一個大的正六邊形，其面積可計算出為

 

；由于所圍成的小六邊形的邊長都是

 

，其面積為

 

，由此可得S₆=

 

．
（2）如圖2，三角形的三邊長分別為a、b、c，∠A=120°，試用這樣的三角形拼成一個正三角形（設面積為S₃），先畫出這個正三角形，再推出S₃的計算公式；
推廣：
（3）對于三角形的三邊長分別為a、b、c，當∠A取什么值時，能拼成一個任意正n邊形嗎？如果能，試寫出∠A和三角形的面積S_n的表達式；如果不能，請簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)大六邊形的邊長是a可直接計算出其面積；再根據(jù)直角三角形ABC的邊長可求出小正六邊形的邊長，由六邊形的面積公式可求出小六邊形的面積，再把兩個六邊形的面積相減即可求出六個三角形的面積；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)正三角形的面積公式即可求解；
（3）根據(jù)（1）（2）可總結(jié)出規(guī)律．

解答：解：（1）∵大正六邊形的邊長是a，
∴大正六邊形的面積是：

3 3

2

a²；
∵Rt△ABC的三邊長分別為a、b、c，
∴小六邊形的邊長是b-c；
∴小六邊形的面積是：

3 3

2

（b-c）²；
∴這六個三角形的面積=

3 3

2

a²-

3 3

2

（b-c）²=

3 3

2

[a²-（b-c）²]；

（2）如圖畫出正三角形花環(huán)，

∵大三角形的邊長都是a，小三角形的邊長都是b-c，
∴兩個三角形都是正三角形，
可求得大三角形面積為

3

4

a²，小三角形的面積為

3

4

（b-c）²，
∴S₃=

1

3

[

3

4

a²-

3

4

（b-c）²]=

3

12

[a²-（b-c）²]；

（3）當∠A=

360°

n

時，能拼成一個任意正n邊形花環(huán)，
此時大正n邊形的面積為

na2

4tan 180° n

，
花環(huán)內(nèi)小正n邊形的面積為

n(b-c)2

4tan 180° n

，
故S_n=

a2-(b-c)2

4tan 180° n

．

點評：本題考查的是正多邊形與圓、解直角三角形，熟知正六邊形的面積公式及直角三角形的性質(zhì)是解答此題的關鍵．