Question

5．如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P（m，2），過點(diǎn)P作直線PA∥x軸交拋物線y=ax²+1（a≠0）于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-2，過P作PE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)E，連結(jié)AE．
（1）求a的值．
（2）當(dāng)m≥2時，①PE=$\frac{1}{4}$m²-1（用m的代數(shù)式表示），
②若PE=2BP，求此時點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（2）過點(diǎn)A作AD⊥AE，且AD=AE，問是否存在m使得點(diǎn)D落在坐標(biāo)軸上？若存在，請求出m的值？若不存在．請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出點(diǎn)A坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可解決問題．
（2）①求出點(diǎn)E坐標(biāo)，根據(jù)PE=E_y-P_y，即可解決問題．
②根據(jù)PE=2BP，列出方程即可解決問題．
（3）三種情形①如圖1中，作DF⊥AB于F，由△ADF≌△EAP，推出DF=AP=2，由此即可解決問題．②如圖2中，作AF⊥x軸于F，EG⊥FA于G．方法類似①，③如圖3中，由△AEP≌△DAG，可得AG=EP=2，即可解決問題．

解答 解：（1）∵PA∥x軸，P（m，2），點(diǎn)A橫坐標(biāo)為-2，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（-2，2），代入y=ax²+1，
解得a=$\frac{1}{4}$，

（2）①∵拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$x²+1，
∴B（2，2），
∵m≥2，
∴點(diǎn)E在直線AB上方，E（m，$\frac{1}{4}$m²+1），
∴PE=$\frac{1}{4}$m²+1-2=$\frac{1}{4}$m²-1．
故答案為$\frac{1}{4}$m²-1．

②∵PE=2PB，
∴$\frac{1}{4}$m²-1=2（m-2），
∴m²-8m+12=0，
∴m=2或6．
m=2時，P、E、B三點(diǎn)重合不合題意，舍棄．
∴m=6．

（3）①如圖1中，作DF⊥AB于F，

∵DA⊥AE，
∴∠DAE=∠DFA=∠APE=90°，
∵∠DAF+∠EAG=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠ADF=∠EAP，∵AD=AE，
∴△ADF≌△EAP，
∴DF=AP=2，
∵A（2，2），
∴點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)E在y軸上，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)（0，1），
∴m=0，

②如圖2中，作AF⊥x軸于F，EG⊥FA于G．

同理可證△AEG≌△DAF，
∴AF=EG=2，
∴E（-4，5）．
∴m=-4．

③如圖3中，

由△AEP≌△DAG，可得AG=EP=2，
∴點(diǎn)E縱坐標(biāo)為4，
∴4=$\frac{1}{4}$x²+1，
x=±2$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（-2$\sqrt{3}$，4），
∴m=-2$\sqrt{3}$
綜上所述，當(dāng)m=0或-4或-2$\sqrt{3}$時，滿足條件的點(diǎn)D在坐標(biāo)軸上．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一元二次方程、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用這些知識解決問題，學(xué)會分類討論，需要正確畫出圖形解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．