Question

11．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)A（2，0），B（6，2），C（6，6），反比例函數(shù)y₁=$\frac{m}{x}$（x＞0）的圖象過點(diǎn)D，點(diǎn)P是一次函數(shù)y₂=kx+3-3k（k≠0）的圖象與該反比例函數(shù)的一個(gè)公共點(diǎn)，對(duì)于下面四個(gè)結(jié)論：
①反比例函數(shù)的解析式是y₁=$\frac{6}{x}$；
②一次函數(shù)y₂=kx+3-3k（k≠0）的圖象一定經(jīng)過（6，6）點(diǎn)；
③若一次函數(shù)y₂=kx+3-3k的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，當(dāng)x$＞2\sqrt{2}$時(shí)，y₁＜y₂；
④對(duì)于一次函數(shù)y₂=kx+3-3k（k≠0），當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)a的取值范圍是$\frac{a}{3}$＜a＜3．
其中正確的是（　　）

• A． ①③
• B． ②③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 ①由B（6，2），C（6，6）得到BC⊥x軸，BC=4，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD=BC=4，而A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4），然后把D（2，4）代入y=$\frac{m}{x}$即可得到m=8，從而可確定反比例函數(shù)的解析式；
②把x=6代入y=kx+3-3k（k≠0）得到y(tǒng)=3k+3，即可說明一次函數(shù)y=kx+3-3k（k≠0）的圖象不一定過點(diǎn)C；
③由一次函數(shù)圖象過點(diǎn)C可找出k的值，聯(lián)立一次函數(shù)解析式與雙曲線解析式得出關(guān)于x、y的方程組，解方程組找出點(diǎn)P的坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象即可得出結(jié)論；
④由一次函數(shù)的單調(diào)性可得出k＞0，結(jié)合一次函數(shù)必過點(diǎn)（3，3），而此時(shí)同橫坐標(biāo)的雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，$\frac{8}{3}$），由此可得出a＜3，結(jié)合點(diǎn)P在第一象限可知$\frac{a}{3}$＜a，由此可得出結(jié)論成立．結(jié)合①②③④即可得出結(jié)論．

解答 解：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，
∵B（6，2），C（6，6），
∴BC⊥x軸，AD=BC=4，
而A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4），
∵反比例函數(shù)y₁=$\frac{m}{x}$（x＞0）的函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)D（2，4），
∴4=$\frac{m}{2}$，
∴m=8，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{8}{x}$，①不正確；
②當(dāng)x=6時(shí)，y=kx+3-3k=6k+3-3k=3k+3≠6，
∴一次函數(shù)y=kx+3-3k（k≠0）的圖象不一定過點(diǎn)C，②不正確；
③∵一次函數(shù)y₂=kx+3-3k的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，
∴6=6k+3-3k，解得：k=1．
∴y₂=x．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}}\\{y=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{2}}\\{y=-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$（舍去）．
結(jié)合函數(shù)圖象即可得出：
當(dāng)x$＞2\sqrt{2}$時(shí)，y₁＜y₂，③成立；
④∵一次函數(shù)y₂=kx+3-3k（k≠0），y隨x的增大而增大，
∴k＞0，
∴交點(diǎn)P在第一象限，
∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)a的取值范圍是$\frac{a}{3}$＜a．
將x=3帶入到反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$中，得：y=$\frac{8}{3}$．
又∵一次函數(shù)y₂=kx+3-3k（k≠0）恒過點(diǎn)（3，3），點(diǎn)（3，$\frac{8}{3}$）在（3，3）的下方，
即點(diǎn)P應(yīng)該在點(diǎn)（3，$\frac{8}{3}$）的左方，
∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)a的取值范圍是a＜3．
即④正確．
綜上可知：③④正確，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、平行四邊形的性質(zhì)以及一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是逐條分析四條結(jié)論的正確性．本題屬于中檔題，難度不大，再解決該題時(shí)，首先判斷出①②結(jié)論不正確即可得知答案為D，不必再去分析③④．