Question

4．在平面直角坐標系xOy中，對稱軸為直線x=1的拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，且點B的坐標為（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D的坐標為（0，1），點P是拋物線上的動點，若△PCD是以CD為底的等腰三角形，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）求出A、B坐標，利用待定點C的坐標為（0，3），點D（1，0），
（2）由點C的坐標為（0，3），點D（1，0），可知滿足條件的點P的縱坐標為2，解方程-x²+2x+3=2即可得到點P的橫坐標，由此即可解決問題．

解答 解：（1）由題意可求點A的坐標為（3，0）．
將點A（3，0）和點B（-1，0）代入y=-x²+bx+c，
得 $\left\{\begin{array}{l}0=-9+3b+c\\ 0=-1-b+c.\end{array}\right.$
解得 $\left\{\begin{array}{l}b=2\\ c=3.\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式y(tǒng)=-x²+2x+3．       

（2）如圖，

∵點C的坐標為（0，3），點D（1，0），
∴滿足條件的點P的縱坐標為2．
∴-x²+2x+3=2．
解得 ${x_1}=1+\sqrt{2}，{x_2}=1-\sqrt{2}$．
∴點P的坐標為$（1+\sqrt{2}，2）$或$（1-\sqrt{2}，2）$．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考�？碱}型．