Question

如圖甲，⊙O中AB是直徑，C是⊙O上一點，∠ABC=45°，等腰直角△DCE中，∠DCE是直角，點D在線段AC上．
（1）問B、C、E三點在一條直線上嗎？為什么？
（2）若M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，試求

MN

OM

的值；
（3）將△DCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α（O°＜α＜90°）后，記為△D₁CE₁（圖乙），若M₁是線段BE₁的中點，N₁是線段AD₁的中點，則

MN

OM

=

2

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠BCA=90°，∠DCE是直角，即可得到∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°；
（2）連接BD，AE，ON，延長BD交AE于F，先證明Rt△BCD≌Rt△ACE，得到BD=AE，∠EBD=∠CAE，則∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，再利用三角形的中位線的性質(zhì)得到ON=

1

2

BD，OM=

1

2

AE，ON∥BD，AE∥OM，于是有ON=OM，ON⊥OM，即△ONM為等腰直角三角形，即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)（2）中證明方法，利用四邊形內(nèi)角和得出BD₁⊥AE₁，進而求出即可．

解答：解：（1）在一條直線上．
理由如下：
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∵△DCE為等腰直角三角形，
∴∠ACE=90°，
∴∠BCE=90°+90°=180°，
∴B、C、E三點共線．                                               

（2）連接BD，AE，ON，并延長BD交AE于F，
∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，
∴BC=AC，
在△BCD和△ACE中，
∵

AC=BC ∠ACE=∠BCD EC=CD

，
∴△BCD≌△ACE，
∴AE=BD，∠DBE=∠EAC，
∴∠AEB+∠EBD=90°，
∴BD⊥AE，
∵O，N為中點，
∴ON∥BD，ON=

1

2

BD，
同理：OM∥AE，OM=

1

2

AE，
∴OM⊥ON，OM=ON，
∴MN=

2

OM，
∴

MN

ON

=

2

，

（3）成立．
理由如下：連接BD ₁，AE₁，ON ₁，延長BD₁交AE于點F，
和（2）一樣，易證得△BCD₁≌△ACE₁，∴∠E₁AC=∠FBC，
∠BD₁C=∠AE₁C，
∴∠E₁FB+∠AE₁C+∠D₁BC+90°+∠D₁CB=360°（四邊形內(nèi)角和定理），
又∵∠AE₁C+∠D₁BC+∠D₁CB=180°，
∴∠E₁FB+90°+180°=360°，
∴∠E₁FB=90°，
∴BD₁⊥AE₁，
可得△ON₁M ₁為等腰直角三角形，
從而有M₁N ₁=

2

OM ₁．
故答案為：

2

．

點評：此題考查了直徑所對的圓周角為直角和三角形中位線的性質(zhì)；也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．