Question

20．如圖①，在平面直角坐標系中，OA=6，以OA為邊長作等邊三角形ABC，使得BC∥OA，且點B、C落在過原點且開口向下的拋物線上．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）在圖①中，假設一動點P從點B出發(fā)，沿折線BAC的方向以每秒2個單位的速度運動，同時另一動點Q從O點出發(fā)，沿x軸的負半軸方向以每秒1個單位的速度運動，當點P運動到A點時，P、Q都同時停止運動，在P、Q的運動過程中，是否存在時間t，使得PQ⊥AB，若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由；
（3）在BC邊上取兩點E、F，使BE=EF=1個單位，試在AB邊上找一點G，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得四邊形EGHF的周長最小，并求出周長的最小值．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質可先求得B、C的坐標，再利用待定系數法可求得拋物線的解析式；
（2）用t可分別表示出BP、AP和AQ，在Rt△APQ中，可得到AQ=2AP，可得到關于t的方程，可求得t的值；
（3）作E點關于AB的對稱點E′，可知E′在OB上，作F關于對稱軸的對稱點F′，連接E′F′，分別交AB于G，交對稱軸于H，則E′F′=EG+GH+HF，此時四邊形EGHF的周長最小，過E′、F′分別作x軸的垂線，可分別求得E′、F′的坐標，可求得E′F′的長，可求得四邊形EGHF的周長的最小值．

解答 解：
（1）如圖1，連接OB，分別作BM⊥x軸，CN⊥x軸，垂足分別為M、N，

∵BC∥x軸，△ABC為等邊三角形，
∴∠BAO=∠ABC=60°，OA=AB=BC=6，
∴△OAB為等邊三角形，
∴OM=$\frac{1}{2}$OA=3，BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB=3$\sqrt{3}$=CN，且ON=OM+MN=OM+BC=9，
∴B（3，3$\sqrt{3}$），C（9，3$\sqrt{3}$），
∵拋物線過原點O，
∴可設拋物線解析式為y=ax²+bx，
把B、C坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b=3\sqrt{3}}\\{81a+9b=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{9}}\\{b=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x；
（2）如圖2，連接PQ，

由題意可知BP=2t，OQ=t，則AP=6-2t，AQ=6+t，
當PQ⊥AB時，在△APQ中，∠PQA=30°，
∴AQ=2AP，
∴6+t=2（6-2t），解得t=$\frac{6}{5}$，
∴當t的值為$\frac{6}{5}$時，PQ⊥AB；
（3）如圖3，作E點關于AB的對稱點E′，可知E′在OB上，作F關于對稱軸的對稱點F′，連接E′F′，分別交AB于G，交對稱軸于H，

則EG=E′G，FH=F′H，
由線段最短可知此時EG+GH+FH=E′F′，
則此時的G、H即為滿足條件的點，即四邊形EGHF的周長最小，
分別過E′，F′，B作x軸的垂線，垂足分別為R、S、T，
由（1）可知BT=F′S=3$\sqrt{3}$，
∵BE=EF=1，
∴BE′=1，則OE′=OB-BE′=5，AS=1，
∴OS=OA+1=7，
∴F點坐標為（7，3$\sqrt{3}$），
在△ORE′中，OR=$\frac{1}{2}$OE′=$\frac{5}{2}$，RE′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OE′=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴E點坐標為（$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），
∴E′F′=$\sqrt{（7-\frac{5}{2}）^{2}+（3\sqrt{3}-\frac{5\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{21}$，
∵EF=1，
∴四邊形EGHF的周長最小值=EF+E′F′=1+$\sqrt{21}$．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及知識點有待定系數法、等邊三角形的性質、直角三角形的性質、軸對稱的性質等．在（1）中求得B、C點的坐標是解題的關鍵，在（2）中把所求線段用t表示出，化動為靜，在（3）中確定出G、H的位置是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性很強，特別是第（3）問是個難點．