Question

如圖，點P是反比例函數圖象上的點，PA垂直x軸于點A（－1，0），點C的坐標為（1，0），PC交y軸于點B，連結AB，已知AB=。

（1）k的值是　  　；

（2）若M（a，b）是該反比例函數圖象上的點，且滿足∠MBA＜∠ABC，則a的取值范圍是　  　。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）0＜a＜2或。

【解析】（1）依題意，AO=1，OC=1，∴AB是Rt△PAC斜邊上的中線。

∵AB=，∴PC=。

∴在Rt△PAC中，AC=2，AP=，PC=，

∴根據勾股定理，得：，解得。

∵，∴。

（2）分兩種情況：

     ①當點M在x軸下方時，考慮∠MBA＝∠ABC的情況：當∠MBA＝∠ABC時，點M是PC與雙曲線的另一個交點，由B（0,2）,C（1,0）易得直線PC的解析式為，與聯(lián)立：

，解得：或（點P坐標，舍去），

∴當∠MBA＝∠ABC時，點M的坐標為（2，－2）。

∴當∠MBA＜∠ABC時，0＜a＜2。

②當點M在x軸上方時，考慮∠MBA＝∠ABC的情況：如圖，將△ABC順時針旋轉至

△EBA，延長BE交于點，則之間橫坐標的值即為所求。過點E分別作ｘ軸和ｙ軸的垂線，垂足分別為點F，G，設點E的坐標為（ｘ，ｙ），

由旋轉的性質，得AE=AC=2，BE=BA=。

在Rt△AEF中，由勾股定理，得，即①，

在Rt△BEG中，由勾股定理，得，即②，

①-②，得，即③，

將③代入②，得，解得或（舍去），

將代入③得。

∴點E的坐標為。

設直線BE的解析式為，則。

∴直線BE的解析式為。

聯(lián)立。

∴。

綜上所述，a的取值范圍是0＜a＜2或。