Question

15．已知拋物線C₁：y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)（-1，-6），（2，0）兩點(diǎn)
（1）求拋物線解析式；
（2）將拋物線C₁向上平移6單位得到拋物線C₂，若拋物線C₂與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C，D（C在D左邊），且點(diǎn)A（m，m+1）在C₂上，連接BD，求點(diǎn)A關(guān)于直線BD對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；
（3）在拋物線C₂上是否存在點(diǎn)P，使△PBD是以BD為直角邊的直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)圖象向上平移加，可得新拋物線，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得B、D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸的直線上，對(duì)稱點(diǎn)的直線的一次項(xiàng)系數(shù)與對(duì)稱軸的一次項(xiàng)的系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得答案；
（3）根據(jù)互相垂直的兩直線一次項(xiàng)的系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)，可得PB的解析式，根據(jù)解方程組，可得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）將（-1，-6），（2，0）代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=-6}\\{-4+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-x²+3x-2；
（2）將拋物線C₁向上平移6單位得到拋物線C₂，得
y=-x²+3x+4，當(dāng)x=0時(shí)，y=4，即B（0，4）．
當(dāng)y=0時(shí)，-x²+3x+4=0．解得x=4，x=-1，即C（-1，0），D（4，0）．
BD的解析式為y=-x+4，設(shè)A′（x，y），由題意得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y-m-1}{x-m}=1}\\{\frac{y+m+1}{2}=-\frac{x+m}{2}+4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-m+3}\\{y=-m+4}\end{array}\right.$，
即A′（-m+3，-m+4）．
（3）①當(dāng)PB⊥BD時(shí)，設(shè)PD的解析式為y=x+b，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
b=4，
PD的解析式為y=x+4，
聯(lián)立PD與拋物線y=-x²+3x+4，
得$\left\{\begin{array}{l}{y=x+4}\\{y=-{x}^{2}+3x+4}\end{array}\right.$，
解得x=0（不符合題意，舍），x=-2，
當(dāng)x=2時(shí)，y=-4+6+4=6，即P（2，6）；
②當(dāng)PD⊥BD時(shí)，設(shè)PD的解析式為y=x+b，將D點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
b=-4，
PD的解析式為y=x-4，
聯(lián)立PD與拋物線y=-x²+3x+4，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-4}\\{y=-{x}^{2}+3x+4}\end{array}\right.$，解得x=4（不符合題意，舍），x=-2，
當(dāng)x=-2時(shí)，y=-4-6+4=-6，即P′（-2，-6）．
綜上所述：在拋物線C₂上存在點(diǎn)P，使△PBD是以BD為直角邊的直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)（2，6），（-2，-6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸的直線上，對(duì)稱點(diǎn)的直線的一次項(xiàng)系數(shù)與對(duì)稱軸的一次項(xiàng)的系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)得出方程組是解題關(guān)鍵；利用互相垂直的兩直線一次項(xiàng)的系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)得出PB的解析式是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．