Question

2．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上滑動(dòng)且保持BD=AE．在滑動(dòng)過程中△ODE與△ABC會(huì)相似嗎？會(huì)永遠(yuǎn)相似嗎？請(qǐng)說明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到OA=OB，OA⊥BC，∠CAO=45°，則可證明△AOE≌△BOD，得到OE=OD，∠AOE=∠BOD，于是可判斷△DOE為等腰直角三角形，然后根據(jù)相似三角形的判斷方法可判斷△ODE∽△ABC．

解答 解：在滑動(dòng)過程中△ODE與△ABC永遠(yuǎn)相似．理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，
∴OA=OB，OA⊥BC，∠CAO=45°，
在△AOE和△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{\;}\\{AE=BD}\\{∠OAE=∠B}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOD，
∴OE=OD，∠AOE=∠BOD，
而∠AOE+∠AOD=90°，即∠DOE=90°，
∴△DOE為等腰直角三角形，
∴△ODE∽△ABC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．解決本題的關(guān)鍵是利用等腰直角三角形的性質(zhì)證明△AOE與△BOD全等，從而判斷△ODE為等腰直角三角形．