Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P（不與點(diǎn)A、C重合）作EF⊥AC，交AB或BC于點(diǎn)E，交AD或DC于點(diǎn)F，以EF為邊向右作正方形EFGH設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）①AC＝　 　．②當(dāng)點(diǎn)F在AD上時(shí)，用含t的代數(shù)式直接表示線段PF的長(zhǎng)　 　．

（2）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，求t的值．

（3）設(shè)方形EFGH的周長(zhǎng)為l，求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

（4）直接寫出對(duì)角線AC所在的直線將正方形EFGH分成兩部分圖形的面積比為1：2時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】（1）①15；②8t；（2）t＝；（3）①當(dāng)0＜t≤時(shí)，l＝40t；②當(dāng)＜t≤3時(shí)，l＝30；③當(dāng)3＜t＜時(shí)，l＝﹣40t+150；（4）t的值為或．

【解析】

（1）①由矩形的性質(zhì)和勾股定理即可得出結(jié)果；

②由矩形的性質(zhì)得出∠D＝90°，AD＝BC＝，CD＝AB＝，證明△APF∽△ADC，得出，即可得出結(jié)果；

（2）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，證明△APD∽△ADC，得出，即可得出結(jié)果；

（3）分情況討論：

①當(dāng)0＜t≤時(shí)，由（1）②得：PF＝8t，同理：PE＝2t，得出EF＝10t，即可得出結(jié)果；

②當(dāng)＜t≤3時(shí)，EF＝10t＝，即可得出結(jié)果；

③當(dāng)3＜t＜時(shí)，同（1）①得：△CPF∽△ABC∽△EPC，得出，得出PF＝（15﹣4t），PE＝2（15﹣4t），求出EF＝PF+PE＝（15﹣4t）即可；

（4）由題意得出PE：PF＝1：2，或PF：PE＝1：2，①PE：PF＝1：2時(shí)，得出PF＝EF＝5，同理可證：△CPF∽△CDA，得出，即可得出結(jié)果；

②PF：PE＝1：2時(shí)，PF＝EF＝，則（15﹣4t）＝，解得：t＝即可．

解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，

∴；

故答案為：15；

②∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D＝90°，AD＝BC＝3，CD＝AB＝6，

∵EF⊥AC，

∴∠APF＝90°＝∠D，

∵∠PAF＝∠DAC，

∴△APF∽△ADC，

∴，即，

解得：PF＝8t；

故答案為：8t；

（2）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，如圖1所示：

∵∠APD＝∠ADC＝90°，∠PAD＝∠DAC，

∴△APD∽△ADC，

∴，即，

解得：t＝；

（3）分情況討論：

①當(dāng)0＜t≤時(shí)，如圖2所示：

由（1）②得：PF＝8t，

同理：PE＝2t，

∴EF＝10t，

∴l＝4（8t+2t）＝40t；

②當(dāng)＜t≤3時(shí)，如圖3所示：

EF＝10t＝，

l＝4×＝30．

③當(dāng)3＜t＜時(shí)，如圖4所示：

同（1）①得：△CPF∽△ABC∽△EPC，

∴

即，

解得：PF＝（15﹣4t），PE＝2（15﹣4t），

∴EF＝PF+PE＝（15﹣4t），

∴l＝4×（15﹣4t）＝﹣40t+150；

（4）如圖3所示：對(duì)角線AC所在的直線將正方形EFGH分成兩部分圖形的面積比為1：2時(shí)，

則PE：PF＝1：2，或PF：PE＝1：2，

①PE：PF＝1：2時(shí)，

∵EF＝，

∴PF＝EF＝5，

同理可證：△CPF∽△CDA，

∴，即，

解得：PF＝（15﹣4t），

∴（15﹣4t）＝5，

解得：t＝；

②PF：PE＝1：2時(shí)，PF＝EF＝，

則（15﹣4t）＝，

解得：t＝；

綜上所述，對(duì)角線AC所在的直線將正方形EFGH分成兩部分圖形的面積比為1：2時(shí)t的值為或．