Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于點O，CD=3cm，CA=4cm，AD=5cm，點E在AD上運動，作直線EO交BC于點F．

（1）試說明：線段AE與FC相等；
（2）如圖2，當點E運動到使AE=a時，四邊形AECF是矩形，請你求出a的值．
（3）如圖3，探索：當點E運動到AD中點時，四邊形AECF的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形的性質，得出OA=OC，繼而結合平行線的性質可判斷△EAO≌△FCO，從而證得結論．
（2）根據四邊形AECF是矩形，可得出△ACE和△DCE都是直角三角形，繼而利用勾股定理表示出DE²，建立方程可得出答案．
（3）先判斷出四邊形EFCD和四邊形AECF都是平行四邊形，然后得出∠AOE=∠ACD=90°，從而根據菱形的判定即可得出結論．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AD∥BC，OA=OC，
在△EAO和△FCO中，

OA=OC ∠EAO=∠FCO ∠AEO=∠CFO

，
從而可得△EAO≌△FCO，
故可得AE=CF；

（2）解：當點E運動到使AE=3.2時，四邊形AECF是矩形．理由如下：
∵四邊形AECF是矩形，
∴△ACE和△DCE都是直角三角形，
根據勾股定理得，EC²=AC²-AE²，EC²=DC²-DE²，
∴AC²-AE²=DC²-DE²，即4²-a²=3²-（5-a）²，
解得：a=3.2；

（3）解：當點E運動到AE中點時，四邊形AECF是菱形；理由如下：
∵E是AE中點，
∴DE=AE=FC=2.5．
∵AD∥BC，
∴四邊形EFCD和四邊形AECF都是平行四邊形，
∴EF∥CD，
由已知CD=3，CA=4，CB=5，
∴AD²=AC²+CD²，得出∠ACD=90°，
∴∠AOE=∠ACD=90°，
∴四邊形AECF是菱形．

點評：此題考查了平行四邊形的性質、勾股定理、菱形的判定及矩形的性質，綜合考察的知識點較多，解答本題關鍵是要求所學知識的融會貫通．