Question

20．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（5，-6），C（6，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，在直線AB下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P使四邊形PACB的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若點(diǎn)Q為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試指出△QAB為等腰三角形的點(diǎn)Q一共有幾個(gè)？并請(qǐng)求出其中某一個(gè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（5，-6），C（6，0），可利用兩點(diǎn)式法設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-6），代入B（5，-6）即可求得函數(shù)的解析式；
（2）作輔助線，將四邊形PACB分成三個(gè)圖形，兩個(gè)三角形和一個(gè)梯形，設(shè)P（m，m²-5m-6），四邊形PACB的面積為S，用字母m表示出四邊形PACB的面積S，發(fā)現(xiàn)是一個(gè)二次函數(shù)，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)求極值，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）分三種情況畫圖：①以A為圓心，AB為半徑畫弧，交對(duì)稱軸于Q₁和Q₄，有兩個(gè)符合條件的Q₁和Q₄；②以B為圓心，以BA為半徑畫弧，也有兩個(gè)符合條件的Q₂和Q₅；③作AB的垂直平分線交對(duì)稱軸于一點(diǎn)Q₃，有一個(gè)符合條件的Q₃；最后利用等腰三角形的腰相等，利用勾股定理列方程求出Q₃坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)y=a（x+1）（x-6）（a≠0），
把B（5，-6）代入：a（5+1）（5-6）=-6，
a=1，
∴y=（x+1）（x-6）=x²-5x-6；
（2）存在，
如圖1，分別過P、B向x軸作垂線PM和BN，垂足分別為M、N，
設(shè)P（m，m²-5m-6），四邊形PACB的面積為S，
則PM=-m²+5m+6，AM=m+1，MN=5-m，CN=6-5=1，BN=5，
∴S=S_△AMP+S_梯形PMNB+S_△BNC，
=$\frac{1}{2}$（-m²+5m+6）（m+1）+$\frac{1}{2}$（6-m²+5m+6）（5-m）+$\frac{1}{2}$×1×6，
=-3m²+12m+36，
=-3（m-2）²+48，
當(dāng)m=2時(shí)，S有最大值為48，這時(shí)m²-5m-6=2²-5×2-6=-12，
∴P（2，-12），
（3）這樣的Q點(diǎn)一共有5個(gè)，
①以A為圓心，以AB為半徑畫弧，交拋物線的對(duì)稱軸于Q₁、Q₄，則AQ₁=AQ₄=AB，
設(shè)對(duì)稱軸交x軸于E，
y=x²-5x-6=（x-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{49}{4}$；
∴拋物線的對(duì)稱軸是：x=$\frac{5}{2}$，
∵A（-1，0），B（5，-6），
∴AB=$\sqrt{（5+1）^{2}+（-6-0）^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴AE=$\frac{5}{2}$+1=$\frac{7}{2}$，
由勾股定理得：Q₁E=Q₄E=$\sqrt{（6\sqrt{2}）^{2}-（\frac{7}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{239}}{2}$，
∴Q₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{239}}{2}$），Q₄（$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{239}}{2}$）
②以B為圓心，以AB為半徑畫弧，交拋物線的對(duì)稱軸于Q₂、Q₅，
∴Q₂E=Q₅E=AB=6$\sqrt{2}$，
過B作BF⊥Q₁Q₅于F，則Q₂F=Q₅F，
∵B（5，-6），
∴BF=$\frac{5}{2}$，
由勾股定理得：Q₂F=$\sqrt{（6\sqrt{2}）^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{263}}{2}$，
∴Q₅E=$\frac{\sqrt{263}}{2}$+6=$\frac{\sqrt{263}+12}{2}$，
∴Q₅（$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{263}+12}{2}$），
∵Q₂E=$\frac{\sqrt{263}}{2}$-6=$\frac{\sqrt{263}-12}{2}$，
∴Q₂（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{263}-12}{2}$），
③連接Q₃A、Q₃B，
因?yàn)镼₃在對(duì)稱軸上，所以設(shè)Q₃（$\frac{5}{2}$，y），
∵△Q₃AB是等腰三角形，且Q₃A=Q₃B，
由勾股定理得：（$\frac{5}{2}$+1）²+y²=（$\frac{5}{2}$-5）²+（y+6）²，
y=-$\frac{5}{2}$，
∴Q₃（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：∴Q₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{239}}{2}$），Q₂（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{263}-12}{2}$），Q₃（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{2}$），Q₄（$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{239}}{2}$），Q₅（$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{263}+12}{2}$），

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用待定系數(shù)法求解析式，還考查了多邊形的面積，要注意將多邊形分解成幾個(gè)圖形求解；
還要注意求最大值可以借助于二次函數(shù)．同時(shí)還結(jié)合了拋物線圖形考查了等腰三角形的一些性質(zhì)，注意由一個(gè)動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)組成的等腰三角形三種情況的討論．