Question

20．已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，AD為O的直徑交線段BC于點M，DE∥BC，交AB的延長線于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線； 
（2）若等邊△ABC的邊長為6，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)得出O即是△ABC的外心，又是△ABC的內(nèi)心，得出∠BAM=∠CAM=30°，因此∠AMB=90°，由平行線的性質(zhì)得出∠EDA=90°，即可得出結(jié)論；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)得出BM=$\frac{1}{2}$AB=3，連接OB，則∠OBM=30°，得出OM=$\frac{1}{2}$OB，由勾股定理求出OB，由平行線的性質(zhì)得出$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AM}{AD}$，求出AE，即可得出BE的長．

解答 （1）證明：∵等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，
∴∠ABC=60°，O即是△ABC的外心，又是△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAM=∠CAM=30°，
∴∠AMB=90°，
∵DE∥BC，
∴∠EDA=∠AMB=90°，
∵AD為⊙O的直徑，
∴DE是⊙O的切線； 
（2）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=3，
連接OB，如圖所示：
則∠OBM=30°，
∴OM=$\frac{1}{2}$OB，
由勾股定理得：OB²-OM²=BM²，
即OB²-（$\frac{1}{2}$OB）²=3²，
解得：OB=2$\sqrt{3}$，
∴OM=$\sqrt{3}$，AM=3$\sqrt{3}$，AD=4$\sqrt{3}$，
∵DE∥BC，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AM}{AD}$，即$\frac{6}{AE}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}$，
解得：AE=8，
∴BE=AE-AB=8-6=2．

點評 本題考查了切線的判定、等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握切線的判定和等邊三角形的性質(zhì)，由勾股定理求出半徑是解決問題的突破口．