Question

閱讀下面的材料：

小明在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個問題：若1≤x≤m，求二次函數(shù)的最大值．他畫圖研究后發(fā)現(xiàn)，和時的函數(shù)值相等，于是他認(rèn)為需要對進(jìn)行分類討論．他的解答過程如下：

∵二次函數(shù)的對稱軸為直線，

∴由對稱性可知，和時的函數(shù)值相等．

∴若1≤m＜5，則時，的最大值為2；

若m≥5，則時，的最大值為．

請你參考小明的思路，解答下列問題：

（1）當(dāng)≤x≤4時，二次函數(shù)的最大值為_______；

（2）若p≤x≤2，求二次函數(shù)的最大值；

（3）若t≤x≤t+2時，二次函數(shù)的最大值為31，則的值為_______．

Answer 1

【解析】
（1）∵拋物線的對稱軸為直線x=-1，

∴當(dāng)-2≤x≤4時，二次函數(shù)y=2x2+4x+1的最大值為：2×42+4×4+1=49；

（2）∵二次函數(shù)y=2x2+4x+1的對稱軸為直線x=-1，

∴由對稱性可知，當(dāng)x=-4和x=2時函數(shù)值相等，

∴若p≤-4，則當(dāng)x=p時，y的最大值為2p2+4p+1，

若-4＜p≤2，則當(dāng)x=2時，y的最大值為17；

（3）t＜-2時，最大值為：2t2+4t+1=31，

整理得，t2+2t-15=0，

解得t1=3（舍去），t2=-5，

t≥-2時，最大值為：2（t+2）2+4（t+2）+1=31，

整理得，（t+2）2+2（t+2）-15=0，

解得t1=1，t2=-7（舍去），

所以，t的值為1或-5．

【解析】

試題分析：（1）先求出拋物線的對稱軸為直線x=-1，然后確定當(dāng)x=4時取得最大值，代入函數(shù)解

析式進(jìn)行計(jì)算即可得解；（2）先求出拋物線的對稱軸為直線x=-1，再根據(jù)對稱性可得x=-4和x=2

時函數(shù)值相等，然后分p≤-4，-4＜p≤2討論求解；（3）根據(jù)（2）的思路分t＜-2，t≥-2時兩

種情況討論求解．

考點(diǎn)：二次函數(shù)的最值