Question

如圖，在射線OM上有三點(diǎn)A、B、C，滿足OA=20cm，AB=60cm，BC=10cm（如圖所示），點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OM方向以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)在線段CO上向點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．
（1）當(dāng)PA=2PB時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到的位置恰好是線段AB的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．
（2）若點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)速度為3cm/s，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間P、Q兩點(diǎn)相距70cm．
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段AB上時(shí)，分別取OP和AB的中點(diǎn)E、F，求

OB-AP

EF

的值．

Answer 1

分析：此題較為復(fù)雜，但仔細(xì)閱讀，讀懂題意根據(jù)速度公式就可求解．
（1）從題中我們可以看出點(diǎn)P及Q是運(yùn)動(dòng)的，不是靜止的，當(dāng)PA=2PB時(shí)實(shí)際上是P正好到了AB的三等分點(diǎn)上，而且PA=40，PB=20．由速度公式就可求出它的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即是點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到的位置恰好是線段AB的三等分點(diǎn)，這里的三等分點(diǎn)是二個(gè)點(diǎn)，因此此題就有二種情況，分別是AQ=

AB

3

時(shí)，BQ=

AB

3

時(shí)，由此就可求出它的速度．
（2）若點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)速度為3cm/s，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間P、Q兩點(diǎn)相距70cm，這也有兩種情況即當(dāng)它們相向而行時(shí)，和它們直背而行時(shí)，此題可設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，按速度公式就可解了．
（3）此題就可把它當(dāng)成一個(gè)靜止的線段問題來解決了，但必須借助圖形．

解答：解：（1）①當(dāng)P在線段AB上時(shí)，由PA=2PB及AB=60，可求得PA=40，OP=60，故點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為60秒．
若AQ=

AB

3

時(shí)，BQ=40，CQ=50，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為50÷60=

5

6

（cm/s）；
若BQ=

AB

3

時(shí)，BQ=20，CQ=30，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為30÷60=

1

2

（cm/s）．
②點(diǎn)P在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，由PA=2PB及AB=60，可求得PA=120，OP=140，故點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為140秒．
若AQ=

AB

3

時(shí)，BQ=40，CQ=50，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為50÷140=

5

14

（cm/s）；
若BQ=

AB

3

時(shí)，BQ=20，CQ=30，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為30÷140=

3

14

（cm/s）．

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則t+3t=90±70，t=5或40，
∵點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，
∴點(diǎn)Q最多運(yùn)動(dòng)30秒，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)30秒到點(diǎn)O時(shí)PQ=OP=30cm，之后點(diǎn)P繼續(xù)運(yùn)動(dòng)40秒，則
PQ=OP=70cm，此時(shí)t=70秒，
故經(jīng)過5秒或70秒兩點(diǎn)相距70cm；

（3）如圖1，設(shè)OP=xcm，點(diǎn)P在線段AB上，20≤x≤80，OB-AP=80-（x-20）=100-x，
EF=OF-OE=（OA+

1

2

AB）-OE=（20+30）-

x

2

=50-

x

2

，
∴

OB-AP

EF

=

100-X

50- X 2

=2．

如圖2，設(shè)OP=xcm，點(diǎn)P在線段AB上，20≤x≤80，OB-AP=80-（x-20）=100-x，
EF=OF-OE=（OA+

1

2

AB）-OE=（20+30）-

x

2

=50-

x

2

，
∴

OB-AP

EF

=

100-X

50- X 2

=2．

點(diǎn)評(píng)：做這類題時(shí)學(xué)生一定要認(rèn)真仔細(xì)地閱讀，利用已知條件求出未知值．學(xué)生平時(shí)就要培養(yǎng)自己的思維能力．而且要圖形結(jié)合，與生活實(shí)際聯(lián)系起來，也可以把此題當(dāng)成一道路程題來對(duì)待．