Question

已知AD是△ABC的高，△ABC外接圓的半徑為R，
（1）當(dāng)△ABC為銳角三角形時，求證：AB•AC=2AD•R；
（2）若△ABC為鈍角三角形（∠C為鈍角），（1）的結(jié)論還成立嗎？請畫圖證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的外接圓與外心,圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，根據(jù)相似三角形的判定定理得出△ABD∽△AEC，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，根據(jù)相似三角形的判定定理得出△ABD∽△AEC，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：如圖1所示，
連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，
∵∠B與∠E是

AC

所對的圓周角，
∴∠B=∠E．
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ACE=90°，
∴△ABD∽△AEC，
∴

AB

AE

=

AD

AC

，
∵AE是⊙O的直徑，
∴AE=2R，
∴

AB

2R

=

AD

AC

，即AB•AC=2R•AD；

（2）成立．
證明：如圖2所示，
連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，
∵∠B與∠E是

AC

所對的圓周角，
∴∠B=∠E．
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ACE=90°，
∴△ABD∽△AEC，
∴

AB

AE

=

AD

AC

，
∵AE是⊙O的直徑，
∴AE=2R，
∴

AB

2R

=

AD

AC

，即AB•AC=2R•AD．

點(diǎn)評：本題考查的是三角形的外接圓與外心，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．