Question

5．如圖，已知AD∥BC，按要求完成下列各小題（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．
（1）用直尺和圓規(guī)作出∠BAD的平分線AP，交BC于點(diǎn)P．
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，若∠APB=55°，求∠B的度數(shù)．
（3）在（1）的基礎(chǔ)上，E是AP的中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)，交AD于點(diǎn)F，連接PF．求證：四邊形ABPF是菱形．

Answer 1

分析 （1）利用基本作圖（作已知角的平分線）作AP平分∠DAB；
（2）先利用平行線的性質(zhì)得∠DAP=∠APB=55°，再利用角平分線定義得∠BAP=∠DAP=55°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算∠ABP的度數(shù)；
（2）先由∠BAP=∠APB得到BA=BP，再判斷△ABF為等腰三角形得到AB=AF，所以AF=BP，則可判斷四邊形ABPF是平行四邊形，然后加上AB=BP可判斷四邊形ABPF是菱形．

解答 （1）解：如圖，AP為所作；

（2）解：∵AD∥BC，
∴∠DAP=∠APB=55°，
∵AP平分∠DAB，
∴∠BAP=∠DAP=55°，
∴∠ABP=180°-55°-55°=70°；
（2）證明：∵∠BAP=∠APB，
∴BA=BP，
∵BE=FE，AE平分∠BAF，
∴△ABF為等腰三角形，
∴AB=AF，
∴AF=BP，
而AF∥BP，
∴四邊形ABPF是平行四邊形，
∵AB=BP，
∴四邊形ABPF是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了菱形的判定．