Question

已知點(diǎn)D為等腰△ABC的底邊BC的中點(diǎn)，P為AB線段內(nèi)部的任意一點(diǎn)，設(shè)BP的垂直平分線與直線AD交于點(diǎn)E，PC與AD交于點(diǎn)F．求證：直線EP是△APF的外接圓的切線．

Answer 1

證明：∵EG垂直平分BP，
∴EP=BE，
∵AD是等腰三角形ABC底邊上的高，
∴AD垂直平分BC，
∴BE=EC，
∴以E為圓心、EB為半徑作圓E，則點(diǎn)P、C都在該圓的圓周上，
∴在Rt△ABD中，∠PAE=∠BAE=90°-∠ABC=90°-

1

2

∠PEC=∠EPC，
∵在等腰三角形EPC中，∠EPC=90°-

1

2

∠PEC，
∴∠PAE=∠EPC，
∴EP是△APF的外接圓的切線．