Question

11．點P為正三角形ABC內一點，PA=a，PB=b，PC=c，試用a、b、c表示S_△ABC．

Answer 1

分析 將△PAB繞點B順時針旋轉60°到△DCB，所以△PAB與△PBC的面積和就是四邊形PBDC，也就是正△PBD與△PDC的面積和，利用海倫公式可得△PDC的面積，易得四邊形PBDC的面積，同理可得四邊形PCEA、四邊形PAFB的面積，將這三個四邊形的面積相加就是△ABC面積的2倍，易得結論．

解答 解：將△PAB繞點B順時針旋轉60°到△DCB
所以△PAB與△PBC的面積和就是四邊形PBDC，也就是正△PBD與△PDC的面積和，
正△PBD是以b為邊，面積為$\frac{{\sqrt{3}b}^{2}}{4}$，
△PDC的面積根據(jù)海倫公式得，S_△PDC=$\sqrt{[s（s-a）（s-b）（s-c）]}$，
所以S_{四邊形PBDC}=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²+$\sqrt{[s（s-a）（s-b）（s-c）]}$，
同理可得S_{四邊形PCEA}=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²+$\sqrt{[s（s-a）（s-b）（s-c）]}$，
S_{四邊形PAFB}=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²+$\sqrt{[s（s-a）（s-a）（s-a）]}$，
將這三個四邊形的面積相加就是△ABC面積的2倍，
所以S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a²+b²+c²）$+\frac{3}{2}$$\sqrt{[s（s-a）（s-b）（s-c）]}$
其中s=$\frac{1}{2}$（a+b+c）．

點評 本題主要考查了等邊三角形的性質，利用海倫公式三角形的面積等于$\sqrt{s（s-a）（s-b）（s-c）}$其中s=$\frac{1}{2}$（a+b+c）是解答此題的關鍵．