Question

7．在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F 在邊CD上，DF=BE，連接AF，BF．
（1）求證：四邊形BFDE是矩形；
（2）若CF=9，BF=12，DF=15，求證：AF平分∠DAB．

Answer 1

分析 （1）根據平行四邊形的性質得出DC∥AB，即DF∥BE，根據平行四邊形的判定得出四邊形DEBF為平行四邊形，根據矩形的判定得出即可；
（2）根據矩形的性質求出∠BFC=90°，根據勾股定理求出BC，求出AD=DF，推出∠DAF=∠DFA，求出∠DAF=∠BAF，即可得出答案．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴DC∥AB，即DF∥BE，
又∵DF=BE，
∴四邊形DEBF為平行四邊形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四邊形DEBF為矩形；

（2）∵四邊形DEBF為矩形，
∴∠BFC=90°，
∵CF=9，BF=12，
∴BC=$\sqrt{{9}^{2}+1{2}^{2}}$=15，
∴AD=BC=15，
∴AD=DF=15，
∴∠DAF=∠DFA，
∵AB∥CD，
∴∠FAB=∠DFA，
∴∠FAB=∠DFA，
∴AF平分∠DAB．

點評 本題考查了平行四邊形的性質和判定，矩形的性質和判定，勾股定理，平行線的性質，角平分線定義的應用，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵．