Question

已知平面直角坐標系xOy中, 拋物線與直線的一個公共點為.

1.求此拋物線和直線的解析式

2.若點P在線段OA上，過點P作y軸的平行線交（1）中拋物線于點Q，求線段PQ長度的最大值；

3.記（1）中拋物線的頂點為M，點N在此拋物線上，若四邊形AOMN恰好是梯形，求點N的坐標及梯形AOMN的面積.

 

Answer 1

 

1.由題意，可得及，解得，

所以，拋物線的解析式為，直線的解析式為.

2.設點P的坐標為，可得點Q的坐標為，則

        

      所以，當時，的長度取得最大值為4

3.易知點M的坐標為（1，-1）.過點M作直線OA的平行線交拋物線于點N，如圖所示，四邊形AOMN為梯形.直線MN可看成是由直線OA向下平移b個單位得到，所以直線MN的方程為.因為點M在直線上，解得b =3,即直線MN的方程為，將其代入，可得

           

即    

解得  ，

易得  ，

所以，直線MN與拋物線的交點N的坐標為（3,3）.                    

如圖，分別過點M、N作y軸的平行線交直線OA于點G、H，

顯然四邊形MNHG是平行四邊形.可得點G（1,2），H（3,6）.

所以，梯形AOMN的面積

解析:略