Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一矩形ABCO，其頂點(diǎn)為A（0，1）、B（-3，1）、C（-3，0）、O（0，0），將此矩形沿著過(guò)E（-，1）、 F（-，0）的直線EF向右下方翻折，B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′、C′。
（1）求折痕所在直線EF的解析式；
（2）一拋物線經(jīng)過(guò)B、E、B′三點(diǎn)，求此二次函數(shù)解析式；
（3）能否在直線EF上求一點(diǎn)P，使得△PBC周長(zhǎng)最小？如能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）設(shè)EF的解析式為y=kx+b，把E（-，1）、F（，0）的坐標(biāo)代入  解得： 所以，直線EF的解析式為y=x+4； （2）設(shè)矩形沿直線EF向右下方翻折，B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′、C′ ∵BE=3-=2； ∴B′E=BE=2 在Rt△AEB′中，根據(jù)勾股定理，求得： AB′=3， ∴B′的坐標(biāo)為（0，-2） 設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=ax2+bx+c， 把點(diǎn)B（-3，1）、E（-，1）、B′（0，-2）代入 解得： ∴二次函數(shù)的解析式為y=； （3）能，可以在直線EF上找到點(diǎn)P，連接C，交直線EF于點(diǎn)P， 連接BP，由于B′P=BP，此時(shí)，點(diǎn)P與C、B′在一條直線上， 所以，BP+PC=B′P+PC的和最小，由于BC為定長(zhǎng)，所以滿足△PBC周長(zhǎng)最小。 設(shè)直線B′C的解析式為：y=kx+b  所以，直線B′C的解析式為 又∵P為直線B′C和直線EF的交點(diǎn)， ∴解得： ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）。