Question

如圖15－1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現(xiàn)正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O（點O也是BD中點）按順時針方向旋轉(zhuǎn)．

（1）如圖15－2，當(dāng)EF與AB相交于點M，GF與BD相交于點N時，通過觀察或測量BM，FN的長度，猜想BM，FN滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖15－3所示的位置時，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M，線段BD的延長線與GF的延長線相交于點N，此時，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

解：

 

（1）BM=FN．證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，

∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．又∵∠BOM=∠FON，  

  ∴ △OBM≌△OFN ．         ∴ BM=FN．

（2）BM=FN仍然成立． 證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．∴∠MBO=∠NFO=135°．又∵∠MOB=∠NOF，   ∴ △OBM≌△OFN ．∴ BM=FN．