Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直徑OA與雙曲線y=$\frac{m}{x}$在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A的直線y=kx+b與x軸正半軸交于點(diǎn)B，與雙曲線的另一交點(diǎn)為C，連接OC．已知OA=OB=5，sin∠AOB=$\frac{3}{5}$．
（1）求雙曲線和直線AB的解析式；
（2）求△AOC的面積；
（3）直接寫(xiě)出關(guān)于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{k{x}^{2}+bx＜m}\end{array}\right.$的解集．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OB于點(diǎn)D，利用解直角三角形以及勾股定理即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出直線AB以及雙曲線的解析式；
（2）聯(lián)立直線AB與雙曲線的解析式成方程組，通過(guò)解方程組求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用分割圖形求面積法結(jié)合三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（3）觀察函數(shù)圖象，由兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系即可得出不等式組的解集．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OB于點(diǎn)D，如圖所示．
∵OA=OB=5，sin∠AOB=$\frac{3}{5}$，
∴AD=OA•sin∠AOB=3，OD=$\sqrt{O{A}^{2}-A{D}^{2}}$=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0）．
∵點(diǎn)A在雙曲線y=$\frac{m}{x}$上，
∴3=$\frac{m}{4}$，
解得：m=12．
將點(diǎn)A（4，3）、B（5，0）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{3=4k+b}\\{0=5k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=15}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-3x+15，雙曲線的解析式為y=$\frac{12}{x}$．
（2）聯(lián)立直線AB與雙曲線的解析式成方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+15}\\{y=\frac{12}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=12}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$（舍去），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，12）．
∴S_△AOC=S_△OBC-S_△AOB=$\frac{1}{2}$×5×12-$\frac{1}{2}$×5×3=$\frac{45}{2}$．
（3）觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)0＜x＜1或x＞4時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b的值小于反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的值，
∴不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{k{x}^{2}+bx＜m}\end{array}\right.$的解集為0＜x＜1或x＞4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解直角三角形以及勾股定理，通過(guò)解直角三角形找出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線與雙曲線的解析式是解題的關(guān)鍵．