Question

【題目】二次函數y = ax2 ax + c圖象的頂點為C，一次函數y = x + 3的圖象與這個二次函數的圖象交于A、B兩點(其中點A在點B的左側)，與它的對稱軸交于點D．

(1)求點D的坐標；

(2) ①若點C與點D關于x軸對稱，且△BCD的面積等于4，求此二次函數的關系式；

②若CD=DB，且△BCD的面積等于4，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）點D的坐標為（1，2）；（2）①；②或

【解析】

（1）函數的對稱軸為：，當x=1時，y=-x+3=2，故點D（1，2）；

（2）①△BCD的面積=，求出B點坐標為(3,0)，把B點坐標代入即可求解；②設B（m，-m+3）（m>1），過點B作BE⊥CD于E，則BE=m﹣1，根據S△BCD=4， 得B（2+1，-2+2），分兩種情況：當a＞0時，則點C在點D下方，當a<0時，則點C在點D上方，分別求解即可.

（1）∵二次函數的對稱軸為直線x=1，

∴把x=1代入，得y=2，∴點D的坐標為(1,2)．

（2）∵點C與點D關于x軸對稱，

∴點C的坐標為(1,-2)，

∴CD=4．

①設點B橫坐標為x，則，解得x=3．

∵B點在函數y=-x＋3的圖像上，

∴B點坐標為(3,0)．

∵二次函數的頂點為C(1，-2)，

∴它的函數關系式可設為，把B點坐標代入，得a=1，

∴此二次函數的關系式為．

②設B（m，-m+3）（m>1），由y=-x＋3可知y=-x＋3圖像與DC相交成45°，過點B作BE⊥CD于E，則BE=m﹣1，DB=DC=BE，

由S△BCD=4， 得×（m﹣1）2=4，

m =2+1，m =-2+1（舍去），

DC=4，B（2+1，-2+2），

當a＞0時，則點C在點D下方，則點C的坐標為(1，-2)，

B點代入得a=，

當a<0時，則點C在點D上方，則點C的坐標為(1，6)，

B點代入得a= ，

綜上所述a的值為：或 .