Question

1．如圖，正方形ABCD的邊長為6cm，E為CD邊上一 點，∠DAE=30°，M為AE的中點，過點M作直線分別與AD、BC相交于點P、Q．
（1）若PQ垂直于AE，則PQ與AE相等嗎？為什么？
（2）若PQ=AE，則AP等于多少？

Answer 1

分析 （1）作PF⊥BC于F，則∠PFQ=90°，PF=CD，由正方形的性質(zhì)得出AD=CD=6cm，∠D=90°，證出∠QPF=∠DAE，由ASA證明△PFQ≌△ADE，即可得出結論；
（2）先由三角函數(shù)求出AE，得出AM，再證明Rt△PFQ≌Rt△ADE，得出∠FPQ=∠DAE，證出∠AMP=90°，證明△APM∽△AED，得出比例式求出AP即可．

解答 解：（1）PQ=AE；理由如下：
作PF⊥BC于F，如圖1所示：
則∠PFQ=∠PFC=90°，PF=CD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=6cm，∠D=90°，AD∥BC，
∴PF=AD，APF=∠PFC=90°，
∴∠APM+∠QPF=90°，
∵PQ⊥AE，
∴∠AMP=90°，
∴∠DAE+∠APM=90°，
∴∠QPF=∠DAE，
在△PFQ和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PFQ=∠D=90°}&{\;}\\{PF=AD}&{\;}\\{∠QPF=∠DAE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PFQ≌△ADE（ASA），
∴PQ=AE；
（2）∵∠DAE=30°，
∴AE=$\frac{AD}{cos∠DAE}$=$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4$\sqrt{3}$（cm），
∵M為AE的中點，
∴AM=2$\sqrt{3}$cm，
作PF⊥BC于F，如圖2所示：
則∠PGQ=90°，PF=AD，
在Rt△PFQ和Rt△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{PQ=AE}\\{PF=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△PFQ≌Rt△ADE（HL），
∴∠FPQ=∠DAE，
∵∠FPQ+∠APM=90°，
∴∠DAE+∠APM=90°，
∴∠AMP=90°=∠D，
∵∠PAM=∠DAE，
∴△APM∽△AED，
∴$\frac{AP}{AE}=\frac{AM}{AD}$，
即$\frac{AP}{4\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{6}$，
∴AP=4cm．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進行推理論證與計算是解決問題的關鍵．